人教版高中数学第1讲　数列的概念及简单表示法.doc

第1讲　数列的概念及简单表示法
一、知识梳理
1．数列的有关概念
(1)数列的定义
按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．
(2)数列的分类
分类标准
类型
满足条件
按项数
分类
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
按项与项
间的大小
关系分类
递增数列
an＋1＞an
其中n∈N*
递减数列
an＋1＜an
常数列
an＋1＝an
按其他
标准分类
有界数列
存在正数M，使|an|≤M
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
周期数列
对n∈N*，存在正整数常数k，使an＋k＝an
(3)数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法．
2．数列的通项公式
(1)数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
(2)已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝
3．数列的递推公式
如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式．
常用结论
1．数列与函数的关系
数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在正整数集或其子集{1，2，3，…，n}上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值．
2．在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则
二、教材衍化
1．在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5等于(　　)
A．　　　　　　　　　 B．
C． D．
解析：选D．a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝.
2．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝________．
答案：5n－4
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．(　　)
(2)所有数列的第n项都能使用通项公式表示．(　　)
(3)数列{an}和集合{a1，a2，a3，…，an}是一回事．(　　)
(4)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点．(　　)
(5)一个确定的数列，它的通项公式只有一个．(　　)
(6)若数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＝Sn－Sn－1.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×　(6)×
二、易错纠偏
(1)忽视数列是特殊的函数，其自变量为正整数集N*或其子集{1，2，…，n}；
(2)根据Sn求an时忽视对n＝1的验证．
1．在数列－1，0，，，…，中，0.08是它的第________项．
解析：依题意得＝，解得n＝10或n＝(舍)．
答案：10
2．已知Sn＝2n＋3，则an＝________．
解析：因为Sn＝2n＋3，那么当n＝1时，a1＝S1＝21＋3＝5；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋3－(2n－1＋3)＝2n－1(*)．由于a1＝5不满足(*)式，所以an＝
答案：
考点一　由数列的前几项求通项公式(基础型)
了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表法、图象法和通项公式法)．
核心素养：逻辑推理
1．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是(　　)
A．an＝n2－(n－1)　　　　 B．an＝n2－1
C．an＝ D．an＝
解析：选C．观察数列1，3，6，10，…可以发现
第n项为1＋2＋3＋4＋…＋n＝.
所以an＝.
2．数列{an}的前4项是，1，，，则这个数列的一个通项公式是an＝________．
解析：数列{an}的前4项可变形为，，，，故an＝.
答案：
3．数列，，，，…的一个通项公式是________．
解析：因为7－3＝11－7＝15－11＝4，即a－a－1＝4，所以a＝3＋(n－1)×4＝4n－1，所以an＝.
答案：an＝
4．已知数列{an}为，，－，，－，，…，则数列{an}的一个通项公式是________．
解析：各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出从第2项起，每一项的分子数比分母少3，且第1项可变为－，故原数列可变为－，，－，，…故其通项公式可以为an＝(－1)n·.
答案：an＝(－1)n·
解决此类问题，需抓住下面的特征：
(1)各项的符号特征，通过(－1)n或(－1)n＋1来调节正负项．
(2)考虑对分子、分母各个击破或寻找分子