人教版高中数学第1讲　坐标系.doc

第1讲　坐标系
1.在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin＝.
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标.
解　(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，
圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，
即x2＋y2－x－y＝0，
直线l：ρsin＝，
即ρsin θ－ρcos θ＝1，
则直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0.
(2)由得
故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.
2.(2017·贵阳调研)以直角坐标系中的原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝.
(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)过极点O作直线l交曲线于点P，Q，若|OP|＝3|OQ|，求直线l的极坐标方程.
解　(1)∵ρ＝，ρsin θ＝y，
∴ρ＝化为ρ－ρsin θ＝2，
∴曲线的直角坐标方程为x2＝4y＋4.
(2)设直线l的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R)，
根据题意＝3·，
解得θ0＝或θ0＝，
直线l的极坐标方程θ＝(ρ∈R)或θ＝(ρ∈R).
3.在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝对称的曲线的极坐标方程.
解　以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系，则曲线ρ＝2cos θ的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，且圆心为(1，0).直线θ＝的直角坐标方程为y＝x，因为圆心(1，0)关于y＝x的对称点为(0，1)，
所以圆(x－1)2＋y2＝1关于y＝x的对称曲线为x2＋(y－1)2＝1.
所以曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
4.在极坐标系中，已知圆C的圆心C，半径r＝3.
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)若点Q在圆C上运动，点P在OQ的延长线上，且＝2，求动点P的轨迹方程.
解　(1)设M(ρ，θ)是圆C上任意一点.
在△OCM中，∠COM＝，由余弦定理得
|CM|2＝|OM|2＋|OC|2－2|OM|·|OC|cos，
化简得ρ＝6cos.
(2)设点Q(ρ1，θ1)，P(ρ，θ)，
由＝2，得＝，
∴ρ1＝ρ，θ1＝θ，
代入圆C的方程，得
ρ＝6cos，即ρ＝9cos.
5.(2015·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2cos θ.
(1)求C2与C3交点的直角坐标；
(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值.
解　(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.
联立解得或
所以C2与C3交点的直角坐标为(0，0)和.