人教版高中数学第3讲　概率与统计中的数学建模与数据分析.doc

第3讲　概率与统计中的数学建模与数据分析
概率统计中的创新性问题是高考的命题重点，不仅注重模块知识内的综合，也注重模块知识间的综合，更多地体现对数学建模与数据分析核心素养的考查．命题的重点有：
(1)考查数学建模核心素养，以实际生活中的环保、民生、科技等为背景，考查函数、数列等模型的建立，其中求解这些实际问题的最优化是近年高考命题的热点．
(2)考查数据分析核心素养，常考查对数据的搜集与归类，并利用不同的特征值对研究对象做出理性的判断．
考点一　图表与概率交汇(应用型)
甲、乙两家销售公司拟各招聘一名产品推销员，日工资方案如下：甲公司规定底薪80元，每销售一件产品提成1元；乙公司规定底薪120元，日销售量不超过45件没有提成，超过45件的部分每件提成8元．
(1)请将两家公司各一名推销员的日工资y(单位：元)分别表示为日销售件数n的函数关系式；
(2)从两家公司各随机选取一名推销员，对他们过去100天的销售情况进行统计，得到如图所示的条形图．若记甲公司的推销员的日工资为X，乙公司的推销员的日工资为Y，将频率视为概率．若某大学毕业生拟到两家公司中的一家应聘推销员工作，仅从日均收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他做出选择，并说明理由．
【解】　(1)由题意得，甲公司一名推销员的日工资y(单元：元)与日销售件数n的函数关系式为y＝80＋n，n∈N.
乙公司一名推销员的工资y(单元：元)与销售件数n的函数关系式为
y＝
(2)由条形图可得X的分布列如下
X
122
124
126
128
130
P
0.2
0.4
0.2
0.1
0.1
由条形图可得Y的分布列如下
Y
120
128
144
160
P
0.2
0.3
0.4
0.1
易得E(X)＝122×0.2＋124×0.4＋126×0.2＋128×0.1＋130×0.1＝125，
E(Y)＝120×0.2＋128×0.3＋144×0.4＋160×0.1＝136.
因为E(X)＜E(Y)，
所以仅从日均收入的角度考虑，选择去乙公司更好．
统计与概率“搭台”，方案选择“唱戏”
破解此类频率分布直方图、分层抽样与概率相交汇的开放性问题的关键：一是会观图读数据，能从频率分布直方图中读出频率，进而求出频数；二是能根据分层抽样的抽样比或各层之间的比例，求出分层抽样中各层需取的个数；三是会转化，会对开放性问题进行转化．　
　(2020·郑州市第一次质量预测)2012年12月18日，作为全国首批开展空气质量新标准监测的74个城市之一，郑州市正式发布PM2.5数据．资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善．郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数(AQI)，其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2，5，2个监测站点，以9个站点测得的AQI的平均值为依据，播报我市的空气质量．
(1)若某日播报的AQI为118，已知轻度污染区AQI的平均值为74，中度污染区AQI的平均值为114，求重度污染区AQI的平均值；
(2)下表为2018年11月的30天中AQI的分布，11月份仅有一天AQI在[170，180)内．
组数
分组
天数
第一组
[50，80)
3
第二组
[80，110)
4
第三组
[110，140)
4
第四组
[140，170)
6
第五组
[170，200)
5
第六组
[200，230)
4
第七组
[230，260)
3
第八组
[260，290)
1
①郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动，以公布的AQI为标准，如果AQI小于180，则去进行社会实践活动，以统计数据中的频率为概率，求该校周日去进行社会实践活动的概率；
②在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价，设抽取到的AQI不小于180的天数为X，求X的分布列及数学期望．
解：(1)设重度污染区AQI的平均值为x，则74×2＋114×5＋2x＝118×9，解得x＝172.
即重度污染区AQI的平均值为172.
(2)①由题意知，AQI在[170，180)内的天数为1，
由题表可知，AQI在[50，170)内的天数为17，故11月份AQI小于180的天数为1＋17＝18，
又＝，则该校周日去进行社会实践活动的概率为.
②由题意知，X的所有可能取值为0，1，2，3，且
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
则X