人教版高中数学第3讲　数学归纳法及其应用.doc

第3讲　数学归纳法及其应用
一、选择题
1.用数学归纳法证明“2n＞2n＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(　　)
A.2 B.3 C.5 D.6
解析　∵n＝1时，21＝2，2×1＋1＝3，2n＞2n＋1不成立；
n＝2时，22＝4，2×2＋1＝5，2n＞2n＋1不成立；
n＝3时，23＝8，2×3＋1＝7，2n＞2n＋1成立.
∴n的第一个取值n0＝3.
答案　B
2.某个命题与正整数有关，如果当n＝k(k∈N*)时该命题成立，那么可以推出n＝k＋1时该命题也成立.现已知n＝5时该命题成立，那么(　　)
A.n＝4时该命题成立
B.n＝4时该命题不成立
C.n≥5，n∈N*时该命题都成立
D.可能n取某个大于5的整数时该命题不成立
解析　显然A，B错误，由数学归纳法原理知C正确，D错.
答案　C
3.利用数学归纳法证明不等式“1＋＋＋…＋>(n≥2，n∈N*)”的过程中，由“n＝k”变到“n＝k＋1”时，左边增加了(　　)
A.1项 B.k项 C.2k－1项 D.2k项
解析　左边增加的项为＋＋…＋共2k项，故选D.
答案　D
4.对于不等式<n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：
(1)当n＝1时，<1＋1，不等式成立.
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式<k＋1成立，当n＝k＋1时，＝<＝＝(k＋1)＋1.
∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法(　　)
A.过程全部正确
B.n＝1验得不正确
C.归纳假设不正确
D.从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
解析　在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法.
答案　D
5.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上(　　)
A.k2＋1
B.(k＋1)2
C.
D.(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2
解析　当n＝k时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2.
当n＝k＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，
故当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.故选D.
答案　D
二、填空题
6.设Sn＝1＋＋＋＋…＋，则Sn＋1－Sn＝________.
解析　∵Sn＋1＝1＋＋…＋＋＋…＋，
Sn＝1＋＋＋＋…＋.
∴Sn＋1－Sn＝＋＋＋…＋.
答案　＋＋＋…＋
7.数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，依次计算出a2，a3，a4，猜想an＝________.
解析　a1＝2，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝.由此，猜想an是以分子为2，分母是以首项为1，公差为6的等差数列.∴an＝.
答案　
8.凸n多边形有f(n)条对角线.则凸(n＋1)边形的对角线的条数f(n＋1)与f(n)的递推关系式为________.
解析　f(n＋1)＝f(n)＋(n－2)＋1＝f(n)＋n－1.
答案　f(n＋1)＝f(n)＋n－1
三、解答题
9.用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋<2－(n∈N*，n≥2).
证明　(1)当n＝2时，1＋＝<2－＝，命题成立.
(2)