人教版高中数学第3节 二项式定理.doc

第3节　二项式定理
考试要求　能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
1.二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)；
(2)通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C.
2.二项式系数的性质
性质
性质描述
对称性
与首末等距离的两个二项式系数相等，即C＝C
增减性
二项式系数C
当k＜(n∈N*)时，是递增的
当k＞(n∈N*)时，是递减的
二项式
系数最大值
当n为偶数时，中间的一项取得最大值
当n为奇数时，中间的两项与相等且取得最大值
3.各二项式系数和
(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n.
(2)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
(a＋b)n的展开式形式上的特点
(1)项数为n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐
项增1直到n.
(4)二项式系数从C，C，一直到C，C.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)Can－kbk是二项展开式的第k项.(　　)
(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.(　　)
(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.(　　)
(4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
解析　二项展开式中Can－kbk是第k＋1项，二项式系数最大的项为中间一项或中间两项，故(1)(2)均不正确.
2.(易错题)已知(a为常数)的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为(　　)
A.1 B.±1 C.2 D.±2
答案　C
解析　根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，
则有2n＝32，可得n＝5，
则二项式的展开式通项为Tk＋1＝C()5－k·＝akCx，令＝0，得k＝3，
则其常数项为Ca3，
根据题意，有Ca3＝80，可得a＝2.
3.(多选)(2022·淄博调研)对于二项式(n∈N*)，以下判断正确的有(　　)
A.存在n∈N*，展开式中有常数项
B.对任意n∈N*，展开式中没有常数项
C.对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项
D.存在n∈N*，展开式中有x的一次项
答案　AD
解析　该二项展开式的通项为Tk＋1＝C(x3)k＝Cx4k－n，当n＝4k时，展开式中存在常数项，A正确，B错误；当n＝4k－1时，展开式中存在x的一次项，D正确，C错误.
4.(2020·全国Ⅰ卷)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)
A.5 B.10 C.15 D.20
答案　C
解析　法一　∵(x＋y)5＝(x5＋5x4y＋10x3y2＋10x2y3＋5xy4＋y5)，
∴x3y3的系数为10＋5＝15.
法二　当x＋中取x时，x3y3的系数为C，
当x＋中取时，x3y3的系数为C，
∴x3y3的系数为C＋C＝10＋5＝15.
5.(易错题)在的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为________.
答案　1
解析　因为所有二项式系数的和是32，
所以2n＝32，解得n＝5.
在中，令x＝1可得展开式中各项系数的和为(2－1)5＝1.
6.(2021·浙江卷)已知多项式(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a1＝________；a2＋a3＋a4＝________.
答案　5　10
解析　(x－1)3展开式的通项Tr＋1＝Cx3－r·(－1)r，(x＋1)4展开式的通项Tk＋1＝Cx4－k，
则a1＝C＋C＝1＋4＝5；
a2＝C(－1)1＋C＝3；
a3＝C(－1)2＋C＝7；a4＝C(－1)3＋C＝0，
所以a2＋a3＋a4＝3＋7＋0＝10.
考点一　展开式中的通项问题
角度1　求二项展开式的特定项
例1 (1)(2020·全国Ⅲ卷)的展开式中常数项是________(用数字作答).
答案　240
解析　的展开式的通项为Tr＋1＝C(x2)6－r·＝C2rx12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4，得常数项为C24＝240.
(2)的展开式中所有的有理项为__