人教版高中数学第6讲　高效演练分层突破.doc

[基础题组练]
1.将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．则异面直线B1C与AA1所成的角的大小为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B．以O为坐标原点建系如图，
则A(0，1，0)，A1(0，1，1)，B1，C.
所以＝(0，0，1)，＝(0，－1，－1)，
所以cos〈，〉＝
＝＝－，
所以〈，〉＝，
所以异面直线B1C与AA1所成的角为.故选B．
2.如图，已知长方体ABCD­A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，E为线段AB上一点，且AE＝AB，则DC1与平面D1EC所成的角的正弦值为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选A．如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C1(0，3，1)，D1(0，0，1)，E(1，1，0)，C(0，3，0)，所以＝(0，3，1)，＝(1，1，－1)，＝(0，3，－1)．
设平面D1EC的法向量为n＝(x，y，z)，
则即即取y＝1，得n＝(2，1，3)．
因为cos〈，n〉＝
＝＝，所以DC1与平面D1EC所成的角的正弦值为，故选A．
3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为________．
解析：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，则A1(0，0，1)，E，D(0，1，0)，所以＝(0，1，－1)，＝.设平面A1ED的法向量为n1＝(1，y，z)，则
即所以所以n1＝(1，2，2)．又平面ABCD的一个法向量为n2＝(0，0，1)，所以cos〈n1·n2〉＝，故平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为.
答案：
4.如图，正三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长都相等，E，F，G分别为AB，AA1，A1C1的中点，则B1F与平面GEF所成角的正弦值为________．
解析：设正三棱柱的棱长为2，取AC的中点D，连接DG，DB，分别以DA，DB，DG所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则B1(0，，2)，F(1，0，1)，E，G(0，0，2)，
＝(1，－，－1)，＝，＝(1，0，－1)．
设平面GEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
取x＝1，则z＝1，y＝，
故n＝(1，，1)为平面GEF的一个法向量，
所以|cos〈n，〉|＝＝，
所以B1F与平面GEF所成角的正弦值为.
答案：
5.如图所示，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝AE＝2.
(1)求证：BD⊥平面ACFE；
(2)当直线FO与平面BED所成的角为45°时，求异面直线OF与BE所成角的余弦值的大小．
解：(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，
所以BD⊥AC.
因为AE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
所以BD⊥AE.
又因为AC∩AE＝A，AC，AE⊂平面ACFE.
所以BD⊥平面ACFE.
(2)以O为原点，OA，OB所在直线分别为x轴，y轴，过点O且平行于CF的直线为z轴(向上为正方向)，建立空间直角坐标系，
则B(0，，0)，D(0，－，0)，E(1，0，2)，F(－1，0，a)(a＞0)，＝(－1，0，a)．
设平面EBD的法向量为n＝(x，y，z)，
则有即
令z＝1，则n＝(－2，0，1)，
由题意得sin 45°＝|cos〈，n〉|＝
＝＝，
解得a＝3或a＝－(舍去)．
所以＝(－1，0，3)，＝(1，－，2)，
cos〈，〉＝＝，
故异面直线OF与BE所成角的余弦值为.
6．(2020·湖北十堰4月调研)如图，在三棱锥P－ABC中，M为AC的中点，PA⊥PC，AB⊥BC，AB＝BC，PB＝，AC＝2，∠PAC＝30°.
(1)证明：BM⊥平面PAC；
(2)求二面角B－PA－C的余弦值．
解：(1)证明：因为PA⊥PC，AB⊥BC，所以MP＝MB＝AC＝1，
又MP2＋MB2＝BP2，所以MP⊥MB.
因为AB＝BC，M为AC的中点，所以BM⊥AC，
又AC∩MP＝M，所以BM⊥平面PAC.
(2)法一：取MC的中点O，连接PO，取BC的中点E，连接EO，则OE∥BM，从而OE⊥AC.
因为PA⊥PC，∠PAC＝30°，所以MP＝MC＝PC＝1.
又O为MC的中点，所