2022届高考数学一轮复习（人教版）第4章 §4.2　同角三角函数基本关系式及诱导公式.docx

§4.2　同角三角函数基本关系式及诱导公式
考试要求　1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式.
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan α.
2．三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin α
－sin α
－sin α
sin α
cos α
cos α
余弦
cos α
－cos α
cos α
－cos α
sin α
－sin α
正切
tan α
tan α
－tan α
－tan α
口诀
奇变偶不变，符号看象限
微思考
1．诱导公式记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是何意义？
提示　所有诱导公式均可看作k·±α(k∈Z)和α的三角函数值之间的关系，口诀中的奇、偶指的是此处的k是奇数还是偶数．
2．同角三角函数关系式的常用变形有哪些？
提示　同角三角函数关系式的常用变形(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α等．
题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　×　)
(2)若α∈R，则tan α＝恒成立．(　×　)
(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　×　)
(4)若sin＝，则cos α＝－.(　√　)
题组二　教材改编
2．若sin α＝，<α<π，则tan α等于(　　)
A．－2 B．2 C. D．－
答案　D
解析　∵<α<π，∴cos α＝－＝－，
∴tan α＝＝－.
3．已知tan α＝2，则等于(　　)
A. B．－ C. D．－
答案　A
解析　原式＝＝＝.
4．化简·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为 ．
答案　－sin2α
解析　原式＝·(－sin α)·cos α＝－sin2α.
题组三　易错自纠
5．(多选)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值是(　　)
A．2 B．1 C．－2 D．0
答案　AC
解析　当k为偶数时，A＝＋＝2；
当k为奇数时，A＝－＝－2.
6．已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ的值为 ．
答案　－
解析　∵sin θ＋cos θ＝，∴sin θcos θ＝.
又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，θ∈，
∴sin θ－cos θ＝－.
题型一 同角三角函数基本关系式的应用
1．(2021·北京市西城区模拟)已知α∈(0，π)，cos α＝－，则tan α等于(　　)
A. B．－ C. D．－
答案　D
解析　因为cos α＝－且α∈(0，π)，
所以sin α＝＝，
所以tan α＝＝－.故选D.
2．已知α是三角形的内角，且tan α＝－，则sin α＋cos α的值为 ．
答案　－
解析　由tan α＝－，得sin α＝－cos α，
将其代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝1，
所以cos2α＝，易知cos α<0，
所以cos α＝－，sin α＝，
故sin α＋cos α＝－.
3．若角α的终边落在第三象限，则＋的值为 ．
答案　－3
解析　由角α的终边落在第三象限，
得sin α<0，cos α<0，
故原式＝＋＝＋＝－1－2＝－3.
4．已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则tan θ＝ .
答案　－
解析　方法一　由sin θ＋cos θ＝，得sin θcos θ＝－，
因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0，
所以sin θ－cos θ＝＝，
联立解得
所以tan θ＝－.
方法二　因为sin θ＋cos θ＝，
所以sin θcos θ＝－，
由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x2－x－＝0的两根，所以x1＝，x2＝－.
又sin θcos θ＝－<0，θ∈(0，π)，
所以sin θ>0，cos θ<0.
所以sin θ＝，cos θ＝－.
所以tan θ＝＝－.
方法三　由sin θ＋cos θ＝，得sin θcos θ＝－，
所以＝－.
齐次化切，得＝－，
即60t