2024年高考数学一轮复习（人教版） 第3章　§3.8　隐零点与极值点偏移问题[培优课].docx

§3.8　隐零点与极值点偏移问题
隐零点问题是指对函数的零点设而不求，通过一种整体代换和过渡，再结合题目条件最终解决问题；极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性，隐零点与极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中，这类题往往对思维要求较高，过程较为烦琐，计算量较大，难度大．
题型一　隐零点
例1　(2023·郑州模拟)已知函数f(x)＝ex＋1－＋1，g(x)＝＋2.
(1)求函数g(x)的极值；
(2)当x>0时，证明：f(x)≥g(x)．
(1)解　g(x)＝＋2定义域为(0，＋∞)，g′(x)＝，
则当x∈(0，e)时，g′(x)>0，g(x)在(0，e)上单调递增，
当x∈(e，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)在(e，＋∞)上单调递减，
故函数g(x)的极大值为g(e)＝＋2，无极小值．
(2)证明　f(x)≥g(x)等价于证明xex＋1－2≥ln x＋x(x>0)，
即xex＋1－ln x－x－2≥0.
令h(x)＝xex＋1－ln x－x－2(x>0)，
h′(x)＝(x＋1)ex＋1－＝(x＋1)，
令φ(x)＝ex＋1－，则φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，
而φ＝－10<e2－10<0，φ(1)＝e2－1>0，
故φ(x)在(0，＋∞)上存在唯一零点x0，且x0∈，
当x∈(0，x0)时，φ(x)<0，h′(x)<0，h(x)在(0，x0)上单调递减；
当x∈(x0，＋∞)时，φ(x)>0，h′(x)>0，h(x)在(x0，＋∞)上单调递增，
故h(x)min＝h(x0)＝－ln x0－x0－2，又因为φ(x0)＝0，即＝，
所以h(x0)＝－ln x0－x0－1＝(x0＋1)－x0－1＝0，从而h(x)≥h(x0)＝0，
即f(x)≥g(x)．
思维升华　零点问题求解三步曲
(1)用函数零点存在定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程f′(x0)＝0，并结合f′(x)的单调性得到零点的取值范围．
(2)以零点为分界点，说明导函数f′(x)的正负，进而得到f(x)的最值表达式．
(3)将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的零点范围还可以适当缩小．
跟踪训练1　(2023·潍坊模拟)设函数f(x)＝x－aln x－2.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若a＝1，f′(x)为f(x)的导函数，当x>1时，ln x＋1>(1＋k)f′(x)，求整数k的最大值．
解　(1)由题意知，f(x)定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－＝，
当a≤0时，f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>0时，若x∈(0，a)，f′(x)<0；若x∈(a，＋∞)，f′(x)>0；
∴f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增；
综上所述，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；当a>0时，f(x)的单调递减区间为(0，a)，单调递增区间为(a，＋∞)．
(2)当a＝1时，f(x)＝x－ln x－2，
f′(x)＝1－(x>0)；
由ln x＋1>(1＋k)f′(x)得，x(ln x＋1)>(1＋k)(x－1)，即k＋1<(x>1)，
令g(x)＝(x>1)，则g′