2024年高考数学一轮复习（人教版） 第4章　§4.5　三角函数的图象与性质.docx

§4.5　三角函数的图象与性质
考试要求　1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上，正切函数在上的性质．
知识梳理
1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
{x|x≠kπ＋}
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调递增区间
[2kπ－π，2kπ]
单调递减区间
[2kπ，2kπ＋π]
对称中心
(kπ，0)
对称轴方程
x＝kπ＋
x＝kπ
常用结论
1．对称性与周期性
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期．
2．奇偶性
若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)．
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y＝cos x在第一、二象限内单调递减．(　×　)
(2)若非零常数T是函数f(x)的周期，则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期．(　√　)
(3)函数y＝sin x图象的对称轴方程为x＝2kπ＋(k∈Z)．(　×　)
(4)函数y＝tan x在整个定义域上是增函数．(　×　)
教材改编题
1．若函数y＝2sin 2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则(　　)
A．T＝π，A＝1 B．T＝2π，A＝1
C．T＝π，A＝2 D．T＝2π，A＝2
答案　A
2．函数y＝－tan的单调递减区间为________．
答案　(k∈Z)
解析　由－＋kπ<2x－<＋kπ(k∈Z)，
得＋<x<＋(k∈Z)，
所以y＝－tan的单调递减区间为(k∈Z)．
3．函数y＝3－2cos的最大值为________，此时x＝________.
答案　5　＋2kπ(k∈Z)
解析　函数y＝3－2cos的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋2kπ(k∈Z).
题型一　三角函数的定义域和值域
例1　(1)函数y＝的定义域为(　　)
A.
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D．R
答案　C
解析　由cos x－≥0，得cos x≥，
∴2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
(2)函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为________．
答案　－4
解析　∵f(x)＝sin－3cos x＝－cos 2x－3cos x＝－2cos2x－3cos x＋1＝－22＋，－1≤cos x≤1，∴当cos x＝1时，f(x)有最小值－4.
(3)函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为________．
答案　
解析　设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sin x·cos x，∴sin xcos x＝，
且－≤t≤.
∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1，t∈[－，]．
当t＝1时，ymax＝1；
当t＝－时，ymin＝－.
∴函数y的值域为.
思维升华　三角函数值域的不同求法
(1)把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域．
(2)把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域．
(3)利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域．
跟踪训练1　(1)(2021·北京)函数f(x)＝cos x－cos 2x，试判断函数的奇偶性及最大值(　　)
A．奇函数，最大值为2 B．偶函数，最大值为2
C．奇函数，最大值为 D．偶函数，最大值为
答案　D
解析　由题意，
f(－x)＝cos (－x)－cos (－2x)
＝cos x－cos 2x＝f(x)，
所以该函数为偶函数，
又f(x)＝cos x－cos 2x＝－2cos2x＋cos x＋1＝－22＋，
所以当cos x＝时，f(x)取最大