人教版高中数学4.4 构造函数常见方法（精讲）（提升版）（解析版）.docx

4.4 构造函数常见方法（精讲）（提升版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 直接型
【例1】（2022·青海玉树）定义在R上的可导函数满足，若，则m的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，则，则在R上单减，又等价于，即，由单调性得，解得.故选：B.
【一隅三反】
1．（2021·漠河市高级中学）已知是定义在上的奇函数，是函数的导函数且在上，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设，则
又上，，则，即函数在上单调递减，
又是定义在上的奇函数，则函数为上的奇函数，故在上单调递减，
又
，即
可得：，解得：
故选：B.
2（2022年广东潮州）已知是定义在上的奇函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】构造函数，
因为为奇函数，所以=xf(x)=F(x)，所以F(x)为偶函数，
因为当时，，
单调递减，x＞0时，函数F(x)单调递增，
因为f(-1)=0,所以F(-1)=(-1)f(-1)=0.F(1)=0.
因为f(x)＞0，所以，所以，所以x＞1或-1＜x＜0.故选：B
3.（2022·贵州）已知,均是定义在R上的函数，且，当时,，且，则不等式的解集是（ ）
A．(－1，0)∪(1，+∞) B．(－1，0)∪(0，1)
C．(－∞，－1)∪(1，+∞) D．(－∞，－1)∪(0，1)
【答案】D
【解析】，,分别为奇函数偶函数.构造新函数则为奇函数当时，递增.
当时，递增，故答案选D
4．（2022·全国高三）函数是定义在上的函数，且为的导函数，若，则不等式的解集是________．
【答案】
【解析】由题意可知在单调递增，
又，时，时，；
对于，当时，不等式成立，
当时，，不等式不成立；
当时，，且，不等式成立.
综上不等式的解集为.故答案为：
考点二 加乘型
【例2-1】（2022·陕西榆林·三模）已知是定义在上的函数，是的导函数，且，，则下列结论一定成立的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，则，则是增函数，
故，即，可得.故选：D
【例2-2】（江苏省淮安市2022届高三下学期5月模拟数学试题）已知偶函数的定义域为R，导函数为，若对任意，都有恒成立，则下列结论正确的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，则，则A错误；
令，则，
当时，由，
，则在上单调递增，
又因为偶函数的定义域为R，
∴为偶函数，在上单调递增，
，，故B错误；
，，故C正确；
由题意，不妨假设(c为常数)符合题意，此时，故D错误.故选：C.
【一隅三反】
1．（2022·河南）已知函数的定义域为，其导函数是，且．若，则不等式的解集是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】构造函数，其中，
则，
故函数在上为增函数，且，
因为，由可得，即，解得.故选：B.
2．（2022·辽宁·大连二十四中模拟预测）已知函数，若且，则有（       ）
A．可能是奇函数，也可能是偶函数 B．
C．时， D．
【答案】D
【解析】若是奇函数，则，
又因为，与矛盾，所有函数不可能时奇函数，故A错误；
令，则，
因为，，所以，所以函数为增函数，
所以，即，所以，故B错误；
因为，所以，，所以，
故，即，
所以，故C错误；
有，即，故D正确.故选：D.
3．（2022·河南濮阳）已知函数为定义域在R上的偶函数，且当时，函数满足，，则的解集是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题可知，当时，．令，则，
，令，，
令，解得．可知函数在上单调递减﹐在上单调递增．
又，所以，，所以函数在上单调递减，
，可化为，又函数关于对称，
故或，所以不等式的解集为．故选：A
考点三 减除型
【例3-1】（浙江省绍兴市新昌中学2022届）若定义在R上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题可设，因为，则，
所以函数在R上单调递增，又，不等式可转化为，
∴，所以，解得，
所以不等式的解集为．故选：A.
【例3-2】（山东省泰安肥城市2022届）定义在上的函数的导函数为，且对任意恒成立.若，则不等式的解集为（       ）