人教版高中数学7.2 空间几何中的垂直（精练）（基础版）（解析版）.docx

7.2 空间几何中的垂直（精练）（基础版）
题组一 线线垂直
1．（2022·云南师大附中高三阶段练****如图，是边长为的等边三角形，E，F分别是的中点，G是的重心，将沿折起，使点A到达点P的位置，点P在平面的射影为点G．证明：
【答案】证明见解析；
【解析】连接，因是等边三角形，是的中点，是的重心，所以在上，，
又点在平面的射影为点，即平面，平面，所以，
又，所以平面，又平面，所以.
2．（2022·全国·高三专题练****如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，且平面底面，，＝＝，证明：
【答案】证明见解析
【解析】证明：取的中点，连，，
∵为等边三角形，且是边的中点，
∴，
∵平面底面，且它们的交线为，
∴平面，则，
∵，且
∴平面，
∴；
3．（2022·全国·高三专题练****在四棱锥中，底面．证明：
【答案】证明见解析；
【解析】证明：在四边形中，作于，于，
因为，
所以四边形为等腰梯形，
所以，
故，，
所以，
所以，
因为平面，平面，
所以，
又，
所以平面，
又因为平面，
所以；
4．（2022·上海松江·二模）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，， 是的中点，点在棱上．
(1)求四棱锥的全面积；
(2)求证：．
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【解析】(1)∵BC//AD，AD⊥平面ABP，∴BC⊥平面ABP，
∴BC⊥BP，∴,
同理可得,
∴
.
(2)∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA．
又ABCD是矩形，∴CD⊥AD，
∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD．
∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD．
∵PA＝AD，点F是PD的中点，∴AF⊥PD．
又CD∩PD＝D，∴AF⊥平面PDC．
∵PE⊂平面PDC，∴PE⊥AF．
5．（2022·全国·高三专题练****如图所示，在斜三棱柱中，底面是等腰三角形，，侧面底面ABC．
(1)若D是BC的中点，求证：；
(2)过侧面的对角线的平面交侧棱于M，若，求证：截面侧面．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】(1)证明：∵，D是BC中点，∴，
∵底面侧面，交线为BC，
∴侧面，
又∵侧面，
∴；
(2)证明：取中点E，连接DE，ME，
在中，D，E分别是BC，的中点，∴且
又且，∴且，
∵，
∴且，
∴四边形AMED是平行四边形，
∴，
由（1）知面，∴侧面，
又∵面，
∴面侧面．
6．（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知四棱锥中，平面平面，底面为矩形，点E在AD上，且，，为的中点，，．

(1)证明：；
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）证明：如图所示，连接，因为平面平面，且，为AB的中点，所以，所以平面，因为平面，所以，因为四边形为矩形，，所以，，且，所以，所以，又因为且平面，所以平面，因为平面，所以.
（2）解：设，点到平面的距离为，由（1）知平面，所以，所以
，因为，即，所以，解得，即点到平面的距离为.
7．（2022·河南安阳）如图，在三棱锥中，底面ABC是直角三角形，，，D为AB的中点．
(1)证明：；
(2)若，，求点A到平面PDC的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)证明：取中点，连接，，
因为底面是直角三角形，，所以，
因为D为AB的中点，所以，所以，
又，所以，
因为，平面，，所以平面，
因为平面，所以.
(2)连接，，
由（1），因为，，，所以，
因为，所以，
又，所以，即，
因为，，，平面，
所以平面，
所以，
因为是的中点，所以，
因为直角三角形，所以，
因为平面，平面，所以，
又，所以，
所以在等腰中，边上的高为，
所以，
设点A到平面PDC的距离为，因为，
所以，则，
所以点A到平面PDC的距离为.
8．（2022·四川成都）如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，在底面内的射影分别为，．
(1)求证：；
(2)求到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)因为在底面内的射影为，所以面面，
又因为，面面，面
所以面，
又因面因此，
同理，
又,面,面
所以面，
又面,所以，
连接，易得，，又，
故，
又,面,面
因此面，
又面
即；
(2)
在中.
在中.