人教版高中数学7.7 空间几何的外接球（精练）（基础版）（解析版）.docx

7.7 空间几何的外接球（精练）（基础版）
题组一 汉堡模型
1．（2023·全国·高三专题练****一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为，则该四棱柱的高为（       ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】设球的半径为，则 ，解得
设四棱柱的高为 ，则 ，解得 故选：C
2．（2023·全国·高三专题练****圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，已知圆柱的体积为，则球的体积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设球的半径为R，则圆柱的底面圆的半径为R，高为2R，
所以，解得：，则球的体积为故选：A
3．（2022·全国·模拟预测）已知在三棱锥中，平面SBC，，，，则该三棱锥外接球体积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，将三棱锥补成以AC为侧棱的直棱柱，设△BCS外接圆圆心为，半径为r，设△ADE外接圆圆心为，连接，，，取的中点O，则点O为三棱锥外接球球心，连接CO，设该三棱锥外接球半径为R，在△BCS中，，所以.在中，，所以该三棱锥外接球体积为，
故选：B.
4．（2022·全国·高三专题练****在三棱锥中，已知平面，，且，，，则该三棱锥外接球的表面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由平面，，知三棱锥可补形为以，为长宽高的长方体，三棱锥的外接球即长方体的外接球，设外接球的半径为，则，所以．
故选：A
5．（2023·全国·高三专题练****文））我国古代数学名著《九章算术》中给出了很多立体几何的结论，其中提到的多面体“鳖臑”是四个面都是直角三角形的三棱锥．若一个“鳖臑”的所有顶点都在球的球面上，且该“鳖臑”的高为，底面是腰长为的等腰直角三角形．则球的表面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如下图所示：
在三棱锥中，平面，且，，
因为平面，、、平面，则，，，
，，平面，平面，，
所以，三棱锥的四个面都是直角三角形，且，
，
设线段的中点为，则，
所以，点为三棱锥的外接球球心，
设球的半径为，则，因此，球的表面积为.
故选：A.
题组二 墙角模型
1．（2022·沈阳市）（多选）一棱长等于1且体积为1的长方体的顶点都在同一球的球面上，则该球的体积可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】设长方体未知的两棱长分别为，则，，
设外接球半径为，则，
球体积为，，当且仅当时等号成立，
所以．故选：BCD．
2．（2022·黑龙江）长方体的长、宽、高分别为2，2，1，其顶点都在球的球面上，则球的表面积为______.
【答案】
【解析】因为长方体的外接球的直径为长方体的体对角线，长方体的长、宽、高分别为2，2，1，
所以长方体的外接球的直径，
故长方体的外接球的半径为，
所以球的表面积为.故答案为：
3．（2022·贵溪市）棱长为的正四面体的外接球体积为___________.
【答案】
【解析】如图，棱长为的正四面体可以嵌入到棱长为的立方体中，所以正四面体的外接球与所嵌入的立方体的外接球相同.
设立方体的外接球半径为，则，
所以立方体外接球的体积.
故正四面体的外接球体积为.
故答案为：
4．（2022·云南）在三棱锥中，已知，，两两垂直，且，，，则三棱锥的外接球的表面积为
【答案】
【解析】以线段PA，PB，PC为相邻三条棱的长方体被平面ABC所截的三棱锥符合要求，如图：
长方体与三棱锥有相同外接球，其外接球直径为长方体体对角线长，
设外接球的半径为，则，
则所求表面积.
5．（2022·吉林长春市）已知正四棱柱(底面为正方形且侧棱与底面垂直的棱柱)的底面边长为3，侧棱长为4，则其外接球的表面积为
【答案】
【解析】正四棱柱即长方体，其体对角线长为，
因此其外接球的半径为，则其表面积为，故选:B.
6．（2022·河南）在四面体中，平面，三内角，，成等差数列，，，则该四面体的外接球的表面积为
【答案】
【解析】由题意，内角成等差数列，可得,
因为，可得，即，
在中，由余弦定理可得，
即，解得，
所以，所以，
所以该四面体的外接球与该长方体的外接球是相同的，
根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，可得，解得，
所以该四面体的外接球的表面积为.
题组三 斗笠模型
1．（2