人教高中数学解密25 二项式定理（解析版）.docx

解密25 二项式定理
【考点解密】
知识点一　二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．
(1)这个公式叫做二项式定理．
(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项．
(3)二项式系数：各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．
知识点二　二项展开式的通项
(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Can－kbk.
【方法技巧】
二项式系数的性质
对称性
在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C
增减性与最大值
增减性：当k<时，二项式系数是逐渐增大的；
当k>时，二项式系数是逐渐减小的．
最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；
当n为奇数时，中间两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值
各二项
式系数
的和
(1)C＋C＋C＋…＋C＝2n；
(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1
2：一般地，若.
（1）；
（2）展开式各项系数和为；
（3）奇数项系数之和为；
（4）偶数项系数之和为.
【核心题型】
题型一：利用项的系数求参数
1．（2023·重庆·统考二模）已知的二项展开式中，第项与第项的二项式系数相等，则所有项的系数之和为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据第项与第项的二项式系数相等列出等式，解出，再用赋值法即可得出结果.
【详解】解：因为，且第项与第项的二项式系数相等，
所以，解得，取，所以所有项的系数之和为：.
故选：C
2．（2023·湖北·统考模拟预测）一组数据按照从小到大的顺序排列为1，2，3，5，6，8，记这组数据的上四分位数为n，则二项式展开式的常数项为（    ）
A． B．60 C．120 D．240
【答案】B
【分析】利用题意找出该组数据的上四分位数为，然后利用二项式展开式的公式找出常数项即可.
【详解】因为，
所以，
所以展开式的通项为：
，
令得：，
所以展开式的常数项为，
故选：B．
3．（2023·安徽宿州·统考一模）设，若，则（    ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】D
【分析】根据二项展开式分别求出的表达式，解方程即可求得结果.
【详解】由题可知，，所以；
同理可得；
由可得，即，
所以，即，
解得.
故选：D
题型二：赋值法在二项式定理的应用
4．（2023·江西赣州·统考一模）已知，则（    ）
A．40 B．8 C． D．
【答案】D
【分析】设，根据二项式展开式可得、，即可求解.
【详解】设，
则，
，
所以，
所以.
故选：D.
5．（2023·全国·高三专题练****已知，设，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用组合数的性质可求得的值，再利用赋值法可求得和的值，作差可得出所求代数式的值.
【详解】因为，所以由组合数的性质得，
所以，
令，得，即.
令，得，
所以，
故选：D.
6．（2022·全国·高三专题练****设，，则（    ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将 运用二项式定理按照 和 展开，求出各项的系数，并用赋值法求出 和 的值，令 ，逐项验证即可求解.
【详解】由二项式定理知：
，
，令 ，则有 ；
，
，令 ，则有 ；
故有 ，A正确；
令 ，则有 ，
分别代入B，C，D选项：
，B错误；
，C错误；
，D错误；
故选：A.
题型三：利用二项式定理证明整除问题
7．（2023·全国·高三专题练****的展开式中，常数项为，则被8除的余数为（    ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】利用二项式展开式的通项公式结合常数项，可求得a的值，将利用二项式定理展开，即变为，整理为即可求得答案.
【详解】由题意，，
的通项公式为，
令，不合题意；
的通项公式为，
令，则，所以的常数项为，
解得，
所以
，
则被8除的余数为4，
故选： B
8．（2022·全国·高三专题练****设，且，若能被13整除，则（    ）
A．0 B．1 C．11 D．12
【答案】D
【分析】转化为，利用二项式定理求解.
【详解】
因为能被13整除，所以能被13整除
因为，且，所以，
故选：D
9．（2022·全国·高三专