人教高中数学考点05 一元二次不等式（解析版）.docx

考点05 一元二次不等式
【命题解读】
2021年独立考查的内容将是不等式的性质或基本不等式的应用问题，不等式的解法将与集合、函数等其它知识点综合考查
.因此下面几点：1、掌握简单的含参一元二次不等式求解．
2、理解与一元二次不等式相关的恒成立问题的求解．
3、了解一元二次不等式在实际问题中的应用．
【基础知识回顾】
1、 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
(a＞0)的根
有两相异实数根x1，x2(x1＜x2)
有两相等实数根x1＝x2＝－
没有实数根
一元二次不等式
ax2＋bx＋c＞0
(a＞0)的解集
{x|x＜x1或x＞x2}
R
一元二次不等式
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅
2、由二次函数的图象与一元二次不等式的关系判断不等式恒成立问题的方法
（1）.一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔
（2）一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔
3、．简单分式不等式
(1)≥0⇔
(2)>0⇔f(x)g(x)>0
1、 (2020·北京市海淀区期末)不等式x2＋2x－3<0的解集为(　　)
A．{x|x<－3或x>1} B．{x|x<－1或x>3}
C．{x|－1<x<3} D．{x|－3<x<1}
【答案】D
【解析】　由x2＋2x－3<0得(x＋3)(x－1)<0，解得－3<x<1.故选D.
2、若集合，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意，，，则，故答案为C。
3、(2020·黄冈调研)关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0的解集是(　　)
A．(－∞，1)∪(2，＋∞) B．(－1,2)
C．(1,2) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
【答案】C
【解析】；关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，
∴a>0，且－＝1，
4、“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的充要条件是(　　)
A．m> B．m<
C．m<1 D．m>1
【答案】：A
【解析】∵不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，
∴Δ＝(－1)2－4m<0，解得m>，
又∵m>，∴Δ＝1－4m<0，
∴“m>”是“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的充要条件．故选A.
5、下列四个解不等式，正确的有(　　)
A．不等式2x2－x－1>0的解集是{x|x>2或x<1}
B．不等式－6x2－x＋2≤0的解集是
C．若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7<x<－1}，那么a的值是3
D．关于x的不等式x2＋px－2<0的解集是(q,1)，则p＋q的值为－1
【答案】：BCD
【解析】：对于A，∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，
∴由2x2－x－1>0得(2x＋1)(x－1)>0，
解得x>1或x<－，
∴不等式的解集为.故A错误；
对于B，∵－6x2－x＋2≤0，∴6x2＋x－2≥0，
∴(2x－1)(3x＋2)≥0，∴x≥或x≤－.故B正确；
对于C，由题意可知－7和－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根．∴a－8a＋21＝0，∴a＝3.故C正确；
对于D，依题意q,1是方程x2＋px－2＝0的两根，
q＋1＝－p，即p＋q＝－1，故D正确．
考向一　一元二次不等式及简单不等式的解法
例1、求下列不等式的解集：
(1)－x2＋8x－3>0；(2) x-12x+1≤0 
【答案】（1）-12,1（2）-12,1.
【解析】(1)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，
所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不相等的实根x1＝4－，x2＝4＋.
又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下，
所以原不等式的解集为{x|4－<x<4＋}.
（2）方法一:x-12x+1≤0等价于x-1≤0,2x+1>0,①或x-1≥0,2x+1<0.②
解①得-12<x≤1,解②得x∈⌀,
所以原不等式的解集为-12,1.
方法二:不等式x-12x+1≤0⇔(x-1)(2x+1)≤0,2x+1≠0,
所以由二次不等式知-12≤x≤1,x≠−12,所以-12<x≤1.
所以原不等式的解集为-12,1.
变式1、解下列不等式：(1)－3x2－2x＋8≥0；
(2)0＜x2－x－2≤4