人教高中数学专题06 导数与函数的零点问题（练）【解析版】.docx

第一篇 热点、难点突破篇
专题06 导数与函数的零点问题（练）
【对点演练】
一、单选题
1．（2022·河南驻马店·高三期中（文））已知函数，，，实数是函数的一个零点，下列选项中，不可能成立的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的单调性和零点的存在性定理即可求解.
【详解】因为函数的定义域为,所以恒成立,
所以在定义域上是单调减函数，
当时，，
又因为，，
所以，当，，都为负值，则都大于，故A,D可能成立;
当，，，则都小于，大于.故B可能成立;
综合可得，不可能成立.
故选:C.
2．（2022·四川省遂宁市教育局模拟预测（理））定义在上的奇函数的图象关于对称；且当时，．则方程所有的根之和为（    ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】A
【分析】根据题意 函数为周期为4的周期函数，再根据当时，，求导分析函数的单调性，从而画出简图，根据函数的图象及性质求解零点和即可.
【详解】∵为奇函数，∴，又∵关于直线对称，∴函数为偶函数，故，所以，又
，所以，故为周期函数，周期为4，
当时，，所以在上单调递增， 作函数图象如下
方程可化为，方程的解即函数的图象与函数的图象的交点的横坐标，作函数的图象，∴方程的所有实根之和为.
故选：A．
3．（2022·四川省遂宁市教育局模拟预测（理））已知函数（其中，）有两个零点，则a的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的零点个数、方程的解个数与函数图象的交点个数之间的关系可得方程有2个不同的解，构造函数，利用导数研究函数的性质可得，即函数与图象在上有2个交点，利用导数求出，即可求解.
【详解】函数有2个零点，
则方程有2个不同的解，
方程，
设函数，则，
所以函数在上单调递减，由，
得，即，则函数与图象在上有2个交点.
设函数，则，
令，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
故，
所以，解得.
故选：D.
4．（2022·内蒙古·满洲里市第一中学模拟预测（理））已知，若函数有三个零点，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先利用导数求出函数的单调区间和极值，再画出函数图象，结合函数图象求解即可.
【详解】由题意，得，
当，时，，单调递增，
当，时，，单调递减，
易知当时，有极大值，极大值；
当时，有极大值，极大值，
，画出函数的大致图象与直线如图所示，则由图像可得，
当或时，的图象与直线有三个交点，
所以实数的取值范围为.
故选：A
5．（2022·青海·海东市教育研究室高二期末（文））已知函数在上有零点，则
的最小值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由参变量分离法可知关于的方程在上有解，令，利用导数求出函数的最小值，即为实数的最小值.
【详解】函数在上有零点，
等价于关于的方程在上有解，
即在上有解.
令，则.
由，得；由，得.
则在上单调递增，在上单调递减.
因为，，
所以，则，
即的最小值为.
故选：D.
6．（2022·山东德州·高三期中）已知定义在上的函数，若的图像与轴有4个不同的交点，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由的图像与轴有4个不同的交点，转化为与有4个不同的交点，画出二者函数图像，求出与恰有3个交点的临界直线的斜率，即可求的取值范围.
【详解】因为的图像与轴有4个不同的交点，所以与有4个不同的交点，作出二者图像如下图：
易知直线恒过定点，斜率为a，
当直线与相切时是一种临界状态，设此时切点的坐标为，则，解得，所以切线为，此时有三个交点；
当直线过点时，，此时有四个交点；
综上所述：，
故选：A.
7．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）已知函数，（其中e是自然对数的底数），若关于x的方程恰有三个不同的零点，且，则的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据解析式研究、的函数性质，由零点个数知与的交点横坐标一个在上，另一个在上，数形结合可得，且，，进而可得代入目标式，再构造函数研究最值即可得解.
【详解】由解析式，在上单调递增且值域为，在上单调递增且值域为，
函数图象如下：
所以，的值域在上任意函数值都有两个x值与之对应，值域在上任意函数值都有一个x值与之对应，
要使恰有三个不同的零点，则与的交点横坐标一个在上，另一个在上，
由开口向下且对称轴为，
由上图知：，此时且，，
结合图象及有，，则，