人教高中数学专题5-1 平面向量中的高频小题归类(解析版）.docx

专题5-1平面向量中的高频小题归类
目录
专题5-1平面向量中的高频小题归类 1
1
题型一：平面向量的线性运算 1
题型二：向量数量积问题（含最值，范围问题） 5
题型三：向量的夹角 18
题型四：向量模（含最值，范围问题） 22
题型五：平面向量的平行与垂直问题 29
题型六：三点共线的等价关系 33
41
一、单选题 41
二、多选题 48
三、填空题 50
四、双空题 52
题型一：平面向量的线性运算
【典例分析】
例题1．（2022·河南开封·一模（文））已知中，为边上一点，且，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】在中，.
因为，所以.
所以.
故选：A
例题2．（2022·河南新乡·一模（理））在△中，，分别为边，的中点，且与交于点，记，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】根据题意可得点G为△的重心，
所以．
故选：A.
例题3．（2022·四川资阳·一模（理））如图，，为以的直径的半圆的两个三等分点，为线段的中点，为的中点，设，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，为以的直径的半圆的两个三等分点
则//，且
又为线段的中点，为的中点
故选：A.
【提分秘籍】
平面向量的线性运算主要工具是向量的加，减法：
向量加法法则：
①三角形法则(首尾相接，首尾连）：.
②平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线）：
向量减法法则：(共起点，连终点，指向被减向量）
【变式演练】
1．（2022·河北容城中学模拟预测）在平行四边形中，分别是的中点，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图所示，设，且，
则，
又因为，
所以，解得，所以.
故选：B.
2．（2022·吉林市教育学院模拟预测（理））如图，中，，，点E是的三等分点，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
故选：B.
3．（2022·宁夏·石嘴山市第三中学模拟预测（理））在等边中，O为重心，D是的中点，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】O为的重心，延长AO交BC于E，如图，
E为BC中点，则有，而D是的中点，
所以.
故选：D
4．（2022·全国·模拟预测（理））在中，D为AC的中点，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以，所以，
.
故选：D
题型二：向量数量积问题（含最值，范围问题）
【典例分析】
例题1．（2022·湖南·模拟预测）已知直线与圆：相交于不同两点，，点为线段的中点，若平面上一动点满足，则的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以，，三点共线，
且点在线段外，因为点为线段的中点，
所以，即是直角三角形，
所以，由数量积的定义可得：
，
因为，所以，即，
故选:C.
例题2．（2022·全国·模拟预测）如图，在矩形中，，为边上的任意一点（包含端点），为的中点，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】法一：设，
因为O为AC的中点，所以，
所以．又，
所以，
因为，所以，
所以；
法二：以A为坐标原点，，的方向分别为x，y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，设，
所以，，所以．
因为，所以，
即.
故选：A．
例题3．（2022·江西·模拟预测（理））已知圆的半径为2，点满足，，分别是上两个动点，且，则的取值范围是（    ）
A．[6，24] B．[4，22] C．[6，22] D．[4，24]
【答案】C
【详解】取EF的中点M，连接CM，则，
，
又，所以，
所以，
当且仅当向量与共线同向时，取得最大值22；向量与共线反向时，取得最小值6，
故选：C．
例题4．（2022·上海松江·二模）已知正方形的边长为4，点、分别在边、上，且，，若点在正方形的边上，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图，建立平面直角坐标系，
则，，
当在上时，设，，
，
当时，，当时，，
即，
当在上时，设，则，
，知，
当在上时，设，，
，
当时，，当时，，
即，
当在上时，设，，
，
当时，，当时，，
即.
综上可得，，
故