人教版高中数学每日一练　第3周.docx

第三周
[周一]
1．(2022·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和．已知＋n＝2an＋1.
(1)证明：{an}是等差数列；
(2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值．
(1)证明　由＋n＝2an＋1，
得2Sn＋n2＝2ann＋n，①
所以2Sn＋1＋(n＋1)2＝2an＋1(n＋1)＋(n＋1)，②
②－①，得2an＋1＋2n＋1＝2an＋1(n＋1)－2ann＋1，
化简得an＋1－an＝1，
所以数列{an}是公差为1的等差数列．
(2)解　由(1)知数列{an}的公差为1.
由a4，a7，a9成等比数列，
得a＝a4a9，
即(a1＋6)2＝(a1＋3)(a1＋8)，
解得a1＝－12.
所以Sn＝－12n＋＝
＝2－，所以当n＝12或13时，Sn取得最小值，最小值为－78.
[周二]
2．(2022·广州模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acos C＋ccos A＝，a＝b，记△ABC的面积为S.
(1)求a；
(2)请从下面的三个条件中任选一个，探究满足条件的△ABC的个数，并说明理由．
条件：①S＝(a2＋c2－b2)；②bcos A＋a＝c；③bsin A＝acos.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解　(1)在△ABC中，因为acos C＋ccos A＝，
所以a·＋c·＝，
解得b＝，
所以a＝b＝.
(2)选择①，S＝(a2＋c2－b2)，
则acsin B＝(a2＋c2－b2)，
所以acsin B＝×2accos B，
化简得tan B＝.
又0<B<π，故B＝.
由＝，
得sin A＝＝.
因为a>b，所以A＝或A＝，
故满足条件的△ABC的个数为2.
选择②，bcos A＋a＝c，
则sin Bcos A＋sin A＝sin C，
即sin Bcos A＋sin A＝sin(A＋B)，
化简得sin A＝sin Acos B，
因为sin A≠0，所以cos B＝，
解得B＝.
由＝，
得sin A＝＝1，
所以A＝，故满足条件的△ABC的个数为1.
选择③，bsin A＝acos，
则sin Bsin A＝sin Acos.
又sin A≠0，所以sin B＝cos，
所以sin B＝cos B＋sin B，
化简得tan B＝.
又0<B<π，故B＝.
由＝，
得sin A＝＝>1，无解，不存在满足条件的三角形．
[周三]
3．“学****强国”学****平台是由中共中央宣传部主管，以深入学****宣传*******新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的互联网学****平台．该学****平台采取积分制管理，内容丰富多彩，涉及政治、经济、文化、社会、生态，表现形式有图片、文字、视频、考试、答题、互动等，让人们的生活充实而有质量．某市为了了解教职工在“学****强国”平台的学****情况，从该市教职工中随机抽取了200人，统计了他们在“学****强国”中获得的积分(单位：千分)，并将样本数据分成[1,3)，[3,5)，[5,7)，[7,9)，[9,11)，[11,13]六组，绘制成如图所示的频率分布直方图．