人教版新高考数学二轮复习习题训练--专题突破练16　立体几何中的翻折问题及探索性问题（word版含解析）.docx

专题突破练16　立体几何中的翻折问题及探索性问题
1.(2021·山东聊城三模)如图,在平面四边形ABCD中,BC=CD,BC⊥CD,AD⊥BD,沿BD将△ABD折起,使点A到达点P的位置,且PC⊥BC.
(1)求证:PD⊥CD;
(2)若M为PB的中点,二面角P-BC-D的大小为60°,求直线PC与平面MCD所成角的正弦值.
2.(2021·湖南师大附中二模)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=BC=1,△PDC是边长为2的等边三角形,平面PDC⊥平面ABCD,E为线段PC上一点.
(1)设平面PAB∩平面PDC=l,求证:l∥平面ABCD.
(2)是否存在点E,使平面ADE与平面ABCD的夹角为60°?若存在,求CECP的值;若不存在,请说明理由.
3.(2021·山东泰安三模)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=2,BC=22,BB1=2,M为CC1的中点.
(1)试确定线段AB1上一点N,使AC∥平面BMN;
(2)在(1)的条件下,若平面ABC⊥平面BB1C1C,∠ABB1=60°,求平面BMN与平面BB1C1C的夹角的余弦值.
4.(2021·福建泉州二模)如图①,在等腰直角三角形ABC中,CD是斜边AB上的高,沿CD将△ACD折起,使点A到达点P的位置,如图②,∠PBD=60°,E,F,H分别为PB,BC,PD的中点,G为CF的中点.
图①
图②
(1)求证:GH∥平面DEF;
(2)求直线GH与平面PBC所成角的正弦值.
5.(2021·天津二模)如图,在四棱锥E-ABCD中,平面ABCD⊥平面ABE,AB∥CD,AB⊥BC,AB=2BC=2CD=2,AE=BE=3,M为BE的中点.
(1)求证:CM∥平面ADE.
(2)求二面角E-BD-C的正弦值.
(3)在线段AD上是否存在一点N,使直线MD与平面BEN所成角的正弦值为4621?若存在,求出AN的长;若不存在,说明理由.
6.(2021·湖南长沙长郡中学一模)如图①,在等边三角形ABC中,D,E分别为边AB,AC上的动点,且满足DE∥BC,记DEBC=λ.将△ADE沿DE翻折到△MDE的位置,使得平面MDE⊥平面DECB,连接MB,MC,如图②所示,N为MC的中点.
图①
图②
(1)当EN∥平面MBD时,求λ的值.
(2)随着λ值的变化,二面角B-MD-E的大小是否改变?若是,请说明理由;若不是,请求出二面角B-MD-E的正弦值.
专题突破练16　立体几何中的翻折问题及探索性问题
1.(1)证明: 因为BC⊥CD,BC⊥PC,PC∩CD=C,所以BC⊥平面PCD.又PD⊂平面PCD,所以BC⊥PD.由翻折可知PD⊥BD,BD∩BC=B,所以PD⊥平面BCD.又CD⊂平面BCD,所以PD⊥CD.
(2)解: 因为PC⊥BC,CD⊥BC,所以∠PCD为二面角P-BC-D的平面角,即∠PCD=60°.
在Rt△PCD中,PD=CDtan 60°=3CD.
取BD的中点O,连接OM,OC,则OM∥PD,OM=12PD.
因为BC=CD,所以OC⊥BD.
由(1)知PD⊥平面BCD,所以OM⊥平面BCD,
所以OM,OC,OD两两互相垂直.
以O为原点,OC,OD,OM所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系如图所示.
设OB=1,则P(0,1,6),C(1,0,0),D(0,1,0),M0,0,62,CP=(-1,1,6),CD=(-1,1,0),CM=-1,0,62.
设平面MCD的法向量为n=(x,y,z),
则n·CD=0,n·CM=0,即-x+y=0,-x+62z=0,
令z=2,则x=3,y=3,所以n=(3,3,2)为平面MCD的一个法向量.
设直线PC与平面MCD所成的角为θ,则sin θ=|cos<CP,n>|=|CP·n||CP||n|=34,所以直线PC与平面MCD所成角的正弦值为34.
2.(1)证明: ∵AB∥CD,AB⊄平面PDC,DC⊂平面PDC,
∴AB∥平面PDC.
又平面PAB∩平面PDC=l,AB⊂平面PA