人教高中数学压轴题突破练1.docx

压轴题突破练1
1．(2022·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y＝±x.
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在C上，且x1>x2>0，y1>0.过P且斜率为－的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
(1)解　由题意得c＝2.①
因为双曲线的渐近线方程为
y＝±x＝±x，
所以＝.②
又c2＝a2＋b2，③
所以联立①②③得a＝1，b＝，
所以双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)证明　由题意知直线PQ的斜率存在且不为0，
设直线PQ的方程为y＝kx＋t(k≠0)，
将直线PQ的方程代入C的方程，
整理得(3－k2)x2－2ktx－t2－3＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝－>0，
所以3－k2<0，
所以x1－x2＝＝.
设点M的坐标为(xM，yM)，
则
两式相减，得y1－y2＝2xM－(x1＋x2)，
又y1－y2＝(kx1＋t)－(kx2＋t)＝k(x1－x2)，
所以2xM＝k(x1－x2)＋(x1＋x2)，
解得xM＝；
两式相加，得2yM－(y1＋y2)＝(x1－x2)，
又y1＋y2＝(kx1＋t)＋(kx2＋t)
＝k(x1＋x2)＋2t，
所以2yM＝k(x1＋x2)＋(x1－x2)＋2t，
解得yM＝＝xM.
因此，点M的轨迹为直线y＝x，其中k为直线PQ的斜率．
若选择①②作为条件证明③成立：
因为PQ∥AB，
所以直线AB的方程为y＝k(x－2)，
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
不妨令点A在直线y＝x上，
则由
解得xA＝，yA＝，
同理可得xB＝，yB＝－，
所以xA＋xB＝，yA＋yB＝.
点M的坐标满足
得xM＝＝，
yM＝＝，
故M为AB的中点，即|MA|＝|MB|，即③成立．
若选择①③作为条件证明②成立：
当直线AB的斜率不存在时，点M即为点F(2,0)，此时M不在直线y＝x上，矛盾；
当直线AB的斜率存在时，易知直线AB的斜率不为0，
设直线AB的方程为y＝m(x－2)(m≠0)，
A(xA，yA)，B(xB，yB)，
不妨令点A在直线y＝x上，
则由
解得xA＝，yA＝，
同理可得xB＝，yB＝－.
因为M在AB上，且|MA|＝|MB|，
所以xM＝＝，
yM＝＝，
又点M在直线y＝x上，
所以＝·，
解得k＝m，因此PQ∥AB，即②成立．
若选择②③作为条件证明①成立：
因为PQ∥AB，
所以直线AB的方程为y＝k(x－2)，
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
不妨令点A在直线y＝x上，
则由
解得xA＝，yA＝，
同理可得xB＝，yB＝－.
设AB的中点为C(xC，yC)，
则xC＝＝，
yC＝＝.
因为|MA|＝|MB|，
所以M在AB的垂直平分线上，
即点M在直线y－yC＝－(x－xC)，
即y－＝－上，
与y＝x联立，得xM＝＝xC，
yM＝＝yC