微专题 平面向量的线性运算 学案——2023届高考数学一轮人教版.docx

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微专题：平面向量的线性运算
【考点梳理】
1. 向量的线性运算
运
算
定义
法则
(或几何意义)
运算律(性质)
加
法
求两个向量和的运算
三角形法则
平行四边形法则
交换律：a＋b＝b＋a，并规定：a＋0＝0＋a＝a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c；|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立
减
法
求两个向量差的运算
a－b＝a＋(－b)
数
乘
求实数λ与向量a的积的运算
λa是一个向量，其长度：|λa|＝|λ||a|；
其方向：λ>0时，与a方向相同；λ<0时，与a方向相反；λ＝0时，λa＝0
设λ，μ∈R，则
λ(μa)＝μ(λa)；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
2、进行向量的线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来解决.
3、加法运算的推广
(1)加法运算的推广：＋＋…＋An－1An＝.
(2)向量三角不等式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 两向量不共线时，可由“三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”知“<”成立；两向量共线时，可得出“＝”成立(分同向、反向两种不同情形).
4、线性运算重要结论
(1)若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋).
(2)若G为△ABC的重心，则＋＋＝0.
(3)若＝λ＋μ(λ，μ为实数)，则点A，B，C共线的充要条件是λ＋μ＝1.
(4)如图，△ABC中，BD＝m，CD＝n，则＝＋，特别地，D为BC的中点时(m＝n)，＝＋.
【题型归纳】
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题型一：平面向量的加法
1．正方形 中， 点 是 的中点， 点 是 的一个三等分点， 那么 （       ）
A．
B．
C．
D．
2．已知等腰的直角边长为1，为斜边上一动点，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
3．如图，在正方形网格中，向量，满足，则（       ）
A． B．
C． D．
题型二： 平面向量的减法
4．如图，是两条对角线的交点，则下列等式成立的是（       ）
A． B．
C． D．
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5．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，（　　）
A． B． C． D．
6．如图所示的△ABC中，点D是线段AB上靠近A的三等分点，点E是线段BC的中点，则（       ）
A． B． C． D．
题型三： 平面向量的数乘
7．等于（       ）
A． B． C． D．
8．在平行四边形中，（       ）
A． B． C． D．
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9．点在线段上，且，若，则（       ）
A． B． C． D．

题型四：向量的线性运算的几何应用
10．如图，在中，己知，则（       ）
A． B．
C． D．
11．如图，在中，，则（       ）
A． B． C． D．
12．如图，分别是边上的中线，与交于点F，设，，，则等于（       ）
A． B． C． D．
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【双基达标】
13．如图所示，向量等于（       ）
A． B．
C． D．
14．如图所示，等腰梯形中，，点为线段上靠近的三等分点，点为线段的中点，则（       ）
A． B．
C． D．
15．化简的结果为（       ）
A． B． C． D．
16．化简（       ）
A． B． C． D．
17．已知点为所在平面内一点，若动点满足，则点一定经过的（       ）
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
18．在正方形中，（       ）
A． B． C． D．
19．已知向量，且不是方向相反的向量，则的取值范围是（　　）
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