数学高一北师大版必修一练习：3.6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较+Word版含解析.doc

二十四　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
　【基础全面练】　(20分钟　35分)
1．某学校开展研究性学****活动，某同学获得一组试验数据如表：
x
1.99
3
4
5.1
6.12
y
1.5
4.04
7.5
12
18.01
对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是(　　)
A．y＝2x－2 B．y＝
C．y＝log2x D．y＝(x2－1)
【解析】选D.方法一：相邻的自变量之差大约为1，相邻的函数值之差大约为2.5，3.5，4.5，6，基本上是逐渐增加的，二次曲线拟合程度最好，故选D.
方法二：比较四个函数值的大小，可以采用特殊值代入法，可取x＝4，经检验易知选D.
2．f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的大小进行比较，下列选项中正确的是(　　)
A．f(x)＞g(x)＞h(x)
B．g(x)＞f(x)＞h(x)
C．g(x)＞h(x)＞f(x)
D．f(x)＞h(x)＞g(x)
【解析】选B.画出函数的图像(图略)，当x∈(4，＋∞)时，指数函数的图像位于二次函数图像的上方，二次函数的图像位于对数函数图像的上方，故g(x)＞f(x)＞h(x).
3．若a>1，n>0，那么当x足够大时，ax，xn，logax，nx中最大的是(　　)
A．ax　　　B．xn　　　C．logax　　　D．nx
【解析】选A.由指数函数、幂函数和对数函数增长快慢的差别易知，当x足够大时，ax>xn>logax.
4．函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是__________.
【解析】当x变大时，x比ln x增长要快，
所以x2要比x ln x增长得快．
答案：y＝x2
5．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，A对应________；B对应________；C对应________；D对应________．
【解析】A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与④对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与①对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与③对应，D容器慢，与②对应．
答案：④　①　③　②
6．用模型f(x)＝ax＋b来描述某企业每季度的利润f(x)(亿元)和生产成本投入x(亿元)的关系．统计表明，当每季度投入1(亿元)时利润y1＝1(亿元)，当每季度投入2(亿元)时利润y2＝2(亿元)，当每季度投入3(亿元)时利润y3＝2(亿元).又定义：当f(x)使[f(1)－y1]2＋[f(2)－y2]2＋[f(3)－y3]2的数值最小时为最佳模型．
(1)当b＝时，求相应的a使f(x)＝ax＋b成为最佳模型．
(2)根据题(1)得到的最佳模型，请预测每季度投入4(亿元)时利润y4(亿元)的值．
【解析】(1)b＝时，f(1)＝a＋，所以[f(1)－1]2＝＝a2－a＋，f(2)＝2
a＋，[f(2)－2]2＝＝4a2－a＋，f(3)＝3a＋，[f(3)－2]2＝＝9a2－a＋，
所以[f(1)－1]2＋[f(2)－2]2＋[f(3)－2]2＝14a2－a＋＝14a2－14a＋＝14＋，所以a＝时，f(x)＝x＋为最佳模型．
(2)f(x)＝＋，则f(4)＝，
所以预测y4＝(亿元)．
　【综合突破练】　(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．以下四种说法中，正确的是(　　)
A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B．对任意的x＞0，xn＞logax
C．对任意的x＞0，ax＞logax
D．不一定存在x0，当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax
【解析】选D.对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长幅度不能比较；对于B，C，当0＜a＜1时，显然不成立．当a＞1，n＞0时，一定存在x0，使得当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax，但若去掉限制条件“a＞1，n＞0”，则结论不成立．
2．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图像大致为(　　)
【解析】选D.由题意，设林区原来的蓄积量为a，
则ax＝a(1＋10.4%)y，即1.104y＝x，
则y＝log1.104x，
故y＝f(x)的图像大致为D.
3．为了治理沙尘暴，A市政府大力加强环境保护，其周