《成才之路》高二数学（人教A版）选修2-1能力拓展提升：第三章 空间向量与立体几何（10份）.zip

能力拓展提升
一、选择题
9．(2013·大纲理，10)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于(　　)
A. B. C. D.
[答案]　A
[解析]　如图，连接C1O，过C作CM⊥C1O.
∵BD⊥平面C1CO，∴BD⊥CM，
∵C1O∩BD＝O，∴CM⊥平面BC1D，
∴∠CDM即为CD与平面BDC1所成的角，
令AB＝1，∴AA1＝2，CO＝，
C1O＝＝＝，
由CM·C1O＝CC1·CO得，CM＝，
∴sin∠CDM＝＝.
10．把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，O是正方形中心，则折起后，∠EOF的大小为(　　)
A．(0°，90°) B．90°
C．120° D．(60°，120°)
[答案]　C
[解析]　＝(＋)，＝(＋)，
∴·＝(·＋·＋·＋·)＝－||2.
又||＝||＝||，
∴cos〈，〉＝＝－.
∴∠EOF＝120°，故选C.
11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若F、G分别是棱AB、CC1的中点，则直线FG与平面A1ACC1所成角的正弦值等于(　　)
A.　 　 B.　 　 C.　 　 D.
[答案]　D
[解析]　解法一：过F作BD的平行线交AC于M，则∠MGF即为所求．
设正方体棱长为1，MF＝，GF＝，
∴sin∠MGF＝.
解法二：分别以AB、AD、AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则易知平面ACC1A1的一个法向量为n＝(－1,1,0)，
∵F(，0,0)，G(1,1，)，∴＝，
设直线FG与平面A1ACC1所成角θ，
则sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝＝.
二、填空题
12．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，则A1B与平面A1B1CD所成角的大小为________．
[答案]　30°
[解析]　
解法一：连接BC1，设与B1C交于O点，连接A1O.
∵BC1⊥B1C，A1B1⊥BC1，A1B1∩B1C＝B1.
∴BC1⊥平面A1B1C，
∴A1B在平面A1B1CD内的射影为A1O.∴∠OA1B就是A1B与平面
A1B1CD所成的角，
设正方体的棱长为1.
在Rt△A1OB中，A1B＝，BO＝，
∴sin∠OA1B＝＝＝.∴∠OA1B＝30°.
即A1B与平面A1B1CD所成的角为30°.
解法二：以D为原点，DA，DC，DD1分别x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A1(1,0,1)，C(0,1,0)．
∴＝(1,0,1)，＝(0,1,0)．
设平面A1B1CD的一个法向量为n＝(x，y，z)
则⇒令z＝－1得x＝1.
∴n＝(1,0，－1)，又B(1,1,0)，∴＝(0,1，－1)，
cos〈n，〉＝＝＝.
∴〈n，〉＝60°，
所以A1B与平面A1B1CD所成的角为30°.
13.
如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为________．
[答案]　90°
[解析]　取AC的中点D，建立如图坐标系，设AB＝a，
则B(a,0,0)，C1(0，，a)，A(0，－，0)，B1(a,0，a)．
∴＝(a，，a)，＝(a，－，－a)．
∴cos〈，〉＝＝0.
∴AB1与C1B所成的角为90°.
三、解答题
14．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱D1C1、B1C1的中点，求平面EFC与底面ABCD所成二面角的正切值．
[解析]　以D为原点，{，，}为单位正交基底建立空间直角坐标系如图，则C(0,1,0)，E(0，，1)，F(，1,1)．
设平面CEF的法向量为n＝(x，y，z)，则
∵＝，＝，
∴∴
令z＝1，则n＝(－2,2,1)．
显然平面ABCD的法向量e＝(0,0,1)，则
cos〈n，e〉＝＝.
设二面角为α，则cosα＝，∴tanα＝2.
15．如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的中点．
(1)求证：EF⊥CD；
(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论；
(3)求DB与平面DEF所成角的大小．
[解析]　以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)，设AD＝a，则D(0,0,0)、A(a,0,0)、B