人教2023届高考数学一轮教案第10讲导数之单调性、最值、极值（全国）（Word含答案）.zip

第10讲 导数之单调性、最值、极值
【知识点总结】
一．函数单调性与导函数符号的关系
一般地，函数的单调性与其导数正负有以下关系：在某个区间内，如果，那么函数在该区间内单调递增；如果，那么函数在该区间内单调递减.
二．求可导函数单调区间的一般步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；
（3）把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间；
（4）确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性.
注①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数.
②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立.因为，即或，当时，函数在区间上单调递增.当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论：
单调递增；
单调递增；
单调递减；
单调递减.
三．函数极值的概念
设函数在点处连续且，若在点附近的左侧，右侧，则为函数的极大值点；若在附近的左侧，右侧，则为函数的极小值点.
函数的极值是相对函数在某一点附近的小区间而言，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小
值，且极大值不一定比极小值大.极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点.
四．求可导函数极值的一般步骤
（1）先确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）求方程的根；
（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值.
注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号.
②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.
为可导函数的极值点；但为的极值点.
五．函数的最大值、最小值
若函数在闭区间上的图像是一条连续不间断的曲线，则该函数在上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
六．求函数的最大值、最小值的一般步骤
设是定义在区间上的函数，在可导，求函数在上的最大值与最小值，可分两步进行：
（1）求函数在内的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；
②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
【典型例题】
例1．（2021·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高三期中（文））已知函数．若
图象上的点处的切线斜率为．
（1）求a，b的值；
（2）的极值．
【详解】
（1）解：，
，
；
（2）解：由（1）得
，令，得
或，，
－1
（－1，3）
3
＋
0
－
0
＋
的极大值为，极小值为.
例2．（2021·陕西礼泉·高三开学考试（文））设，函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性.
【详解】
（1）解：当时，，定义域为，
，
，
曲线在点处的切线方程为，即为.
（2）解：因为，定义域为，所以，
当时，恒成立，
函数在上单调递增；
当时，令，解得，令，解得，
故函数在上单调递增，在上单调递减.
综上可得：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
例3．（2022·全国·高三专题练****有三个条件：①函数的图象过点，且；②在时取得极大值；③函数在处的切线方程为，这三个条件中，请选择一个合适的条件将下面的题目补充完整（只要填写序号），并解答本题．
题目：已知函数存在极值，并且______．
（1）求的解析式；
（2）当时，求函数的最值
【详解】
选①：
（1），所以，故；
（2）由，
所以单调递增，故，．
选②：
因为，所以
由题意知，解得，
故，
经检验在时取得极大值，故符合题意，所以，
（2），令，所以或，所以
或时，，单调递增；时，，单调递减；因此在
单调递减，在单调递增，则，，，所以，；
选③