人教版高中数学第4讲　数系的扩充与复数的引入.doc

第4讲　数系的扩充与复数的引入
一、知识梳理
1．复数的有关概念
(1)复数的定义
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b．
(2)复数的分类
复数z＝a＋bi(a，b∈R)
(3)复数相等
a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数
a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)复数的模
向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝ (r≥0，a，b∈R)．
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
3．复数的运算
(1)复数的加、减 、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
(2)复数加法的运算律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
常用结论
(1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.
(2)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i.
(3)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
(4)|z|2＝||2＝z·.
二、教材衍化
1．计算＋2i＝______．
答案：i
2．复数z＝(x＋1)＋(x－2)i(x∈R)在复平面内所对应的点在第四象限，则x的取值范围为______．
答案：(－1，2)
3．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为________．
解析：因为z为纯虚数，所以所以x＝－1.
答案：－1
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a∈C，则a2≥0.(　　)
(2)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数．(　　)
(3)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　　)
(4)方程x2＋x＋1＝0没有解．(　　)
(5)由于复数包含实数，在实数范围内两个数能比较大小，因而在复数范围内两个数也能比较大小．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×
二、易错纠偏
常见误区(1)复数相等概念把握不牢固致误；
(2)对复数的几何意义理解有误；
(3)复数的分类把握不准导致出错．
1．若a为实数，且＝3＋i，则a＝(　　)
A．－4 B．－3
C．3 D．4
解析：选D．由＝3＋i，得2＋ai＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i，即ai＝4i，因为a为实数，所以a＝4.故选D．
2．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B．若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　)
A．4＋8i B．8＋2i
C．2＋4i D．4＋i
解析：选C．因为A(6，5)，B(－2，3)，所以线段AB的中点C(2，4)，则点C对应的复数为z＝2＋4i.故选C．
3．i为虚数单位，若复数(1＋mi)(i＋2)是纯虚数，则实数m等于______．
解析：因为(1＋mi)(i＋2)＝2－m＋(1＋2m)i是纯虚数，所以2－m＝0，且1＋2m≠0，解得m＝2.
答案：2
考点一　复数的有关概念(基础型)
理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．
核心素养：数学抽象
1．(2019·高考全国卷Ⅰ )设z＝，则|z|＝(　　)
A．2 B．
C． D．1
解析：选C．法一：z＝＝＝，
故|z|＝||＝＝.故选C．
法二：|z|＝||＝＝＝.故选C．
2．(2020·郑州市第一次质量预测)若复数(a∈R)的实部和虚部相等，则实数a的值为(　　)
A．1 B．－1
C． D．－
解析：选C．因为＝＝＋i，所以由题意，得＝，解得
a＝，故选C．
3．(2020·安徽省考试试题)是z＝的共轭复数，则的虚部为(　　)
A．－ B．
C．－ D．
解析：选C．z＝＝＝＝－＋i，则＝－－i，所以的虚部为－，故选C．
4．(2020·山西八校第一次联考)已知a，b∈R，i为虚数单位，若3－4i3＝，则a＋b等