人教版高中数学第5节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用.doc

第5节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
考试要求　1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象.2.了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.3.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
1.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)一个周期内的简图时，要找五个关键点
x
－
－＋
－
ωx＋φ
0
π
2π
y＝Asin
(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
2.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径
3.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.
2.由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度
.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin.(　　)
(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.(　　)
(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　)
(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
解析　(1)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3cos 2x.
(2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为.故当ω≠1时平移的长度不相等.
2.(易错题)y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　)
A.2，4π， B.2，，
C.2，，－ D.2，4π，－
答案　C
解析　由题意知A＝2，f＝＝＝，初相为－.
3.若将函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝cos，将函数f(x)的图象向右平移φ个单位长度后所得图象对应的函数为
y＝cos，且该函数为偶函数，故2φ＋＝kπ(k∈Z)，所以φ的最小正值为.
4.(2020·全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝cos在[－π，π]上的图象大致如下图，则f(x)的最小正周期为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由题图知，f＝0且f(－π)<0，f(0)>0，
所以－ω＋＝－(ω>0)，解得ω＝，
所以f(x)的最小正周期为T＝＝.
5.(易错题)y＝cos(x＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________.
答案　
解析　相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距离为.
6.(2022·辽宁百校联盟质检)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再把所得的图象保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的4倍得到y＝sin的图象，则f(x)的解析式是________；函数
f(x)在区间上的值域是________.
答案　f(x)＝sin　
解析　由题意，把y＝sin的图象的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得
y＝sin的图象；
再把所得图象向右平移个单位，可得f(x)＝sin＝sin的图象.
当x∈时，2x－∈，则sin∈.
　考点一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
例1 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－<φ<)的最小正周期是π，且当x＝时，f(x)取得最大值2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)；
(3)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？
解　(1)因为函数f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2.
又因为当x＝时，f(x)取得最大值2，所以A＝2，
同时2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
φ＝2kπ＋，k∈Z，
因为－<φ<，所以φ＝，
所以f(x)＝2sin.
(2)因为x∈[0，π]，所以2x＋∈.
列表如下：
2x＋
π
2π
x
0