人教版高中数学第2讲　空间几何体的表面积与体积.doc

第2讲　空间几何体的表面积与体积
一、选择题
1.(2015·全国Ⅰ卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(　　)
A.14斛 B.22斛
C.36斛 D.66斛
解析　设米堆的底面半径为r尺，则r＝8，所以r＝.
所以米堆的体积为V＝×π·r2·5＝··5≈(立方尺).
故堆放的米约有÷1.62≈22(斛).
答案　B
2.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是(　　)
A.2 B. C. D.3
解析　由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且S底＝(1＋2)×2＝3.∴V＝x·3＝3，解得x＝3.
答案　D
3.(2017·合肥模拟)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是(　　)
A.1＋ B.2＋ C.1＋2 D.2
解析　四面体的直观图如图所示.
侧面SAC⊥底面ABC，且△SAC与△ABC均为腰长是的等腰直角三角形，SA＝SC＝AB＝BC＝，AC＝2.
设AC的中点为O，连接SO，BO，则SO⊥AC，又SO⊂平面SAC，平面SAC∩平面ABC＝AC，
∴SO⊥平面ABC，又BO⊂平面ABC，∴SO⊥BO.
又OS＝OB＝1，∴SB＝，
故△SAB与△SBC均是边长为的正三角形，故该四面体的表面积为2×××＋2××()2＝2＋.
答案　B
4.(2015·全国Ⅱ卷)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点.若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(　　)
A.36π B.64π C.144π D.256π
解析　因为△AOB的面积为定值，所以当OC垂直于平面AOB时，三棱锥O－ABC的体积取得最大值.由×R2×R＝36，得R＝6.从而球O的表面积S＝4πR2＝144π.
答案　C
5.(2017·青岛模拟)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为平行四边形，NB＝2PN，则三棱锥N－PAC与三棱锥D－PAC的体积比为(　　)
A.1∶2 B.1∶8
C.1∶6 D.1∶3
解析　设点P，N在平面ABCD内的投影分别为点P′，N′，则PP′⊥平面ABCD，NN′⊥平面ABCD，所以PP′∥NN′，
则在△BPP′中，由BN＝2PN得＝.
V三棱锥N－PAC＝V三棱锥P－ABC－V三棱锥N－ABC
＝S△ABC·PP′－S△ABC·NN′
＝S△ABC·(PP′－NN′)＝S△ABC·PP′
＝S△ABC·PP′，V三棱锥D－PAC＝V三棱锥P－ACD＝S△ACD·PP′，
又∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△ABC＝S△ACD，
∴＝.故选D.
答案　D
二、填空题
6.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新