人教版高中数学第3讲　高效演练分层突破2.doc

[基础题组练]
1．函数f(x)＝2x3＋9x2－2在[－4，2]上的最大值和最小值分别是(　　)
A．25，－2　　　　　　　　 B．50，14
C．50，－2 D．50，－14
解析：选C．因为f(x)＝2x3＋9x2－2，所以f′(x)＝6x2＋18x，当x∈[－4，－3)或x∈(0，2]时，f′(x)＞0，f(x)为增函数，当x∈(－3，0)时，f′(x)＜0，f(x)为减函数，由f(－4)＝14，f(－3)＝25，f(0)＝－2，f(2)＝50，故函数f(x)＝2x3＋9x2－2在[－4，2]上的最大值和最小值分别是50，－2.
2．(多选)已知函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列判断正确的是(　　)
A．函数y＝f(x)在区间内单调递增
B．当x＝－2时，函数y＝f(x)取得极小值
C．函数y＝f(x)在区间(－2，2)内单调递增
D．当x＝3时，函数y＝f(x)有极小值
解析：选BC．对于A，函数y＝f(x)在区间内有增有减，故A不正确；对于B，当x＝－2时，函数y＝f(x)取得极小值，故B正确；对于C，当x∈(－2，2)时，恒有f′(x)＞0，则函数y＝f(x)在区间(－2，2)上单调递增，故C正确；对于D，当x＝3时，f′(x)≠0，故D不正确．
3．已知函数f(x)＝2f′(1)ln x－x，则f(x)的极大值为(　　)
A．2 B．2ln 2－2
C．e D．2－e
解析：选B．函数f(x)定义域(0，＋∞)，f′(x)＝－1，所以f′(1)＝1，f(x)＝2ln x－x，令f′(x)＝－1＝0，解得x＝2.当0<x<2时，f′(x)>0，当x>2时，f′(x)<0，所以当x＝2时函数取得极大值，极大值为2ln 2－2.
4．(应用型)用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四周分别截去一个小正方形
，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱的最大容积为(　　)
A．120 000 cm3 B．128 000 cm3
C．150 000 cm3 D．158 000 cm3
解析：选B．设水箱底长为x cm，则高为cm.
由得0＜x＜120.
设容器的容积为y cm3，则有y＝－x3＋60x2.
求导数，有y′＝－x2＋120x.
令y′＝0，解得x＝80(x＝0舍去)．
当x∈(0，80)时，y′＞0；当x∈(80，120)时，y′＜0.
因此，x＝80是函数y＝－x3＋60x2的极大值点，也是最大值点，
此时y＝128 000.故选B．
5．函数f(x)＝3x2＋ln x－2x的极值点的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．无数
解析：选A．函数定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝6x＋－2＝，
由于x>0，g(x)＝6x2－2x＋1的Δ＝－20<0，
所以g(x)>0恒成立，故f′(x)>0恒成立，
即f(x)在定义域上单调递增，无极值点．
6．函数f(x)＝x3－3x2＋4在x＝________处取得极小值．
解析：由f′(x)＝3x2－6x＝0，得x＝0或x＝2.列表
x
(－∞，0)
0
(0，2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－