人教版高中数学第3节 不等关系与不等式性质.doc

第3节　不等关系与不等式性质
考试要求　1.理解用作差法比较两个实数大小的理论依据.2.理解不等式的概念.
3.理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用.
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法
(2)作商法
2.不等式的性质
(1)对称性：a＞b⇔b＜a；
(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；
(3)同向可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；
(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；
(5)可乘方性：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方性：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2).
1.证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法.
2.有关分式的性质
(1)若a>b>0，m>0，则<；>(b－m>0).
(2)若ab>0，且a>b⇔<.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)a＞b⇔ac2＞bc2.(　　)
(2)a＝b⇔ac＝bc.(　　)
(3)若>1，则a>b.(　　)
(4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
解析　(1)由不等式的性质，ac2＞bc2⇒a＞b；反之，c＝0时，a＞b⇒ac2＞bc2.
(2)由等式的性质，a＝b⇒ac＝bc；反之，c＝0时，ac＝bc⇒a＝b.
(3)a＝－3，b＝－1，则>1，但a<b，故(3)错.
2.(易错题)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(　　)
A.－＞0 B.－＜0
C.＞ D.＜
答案　D
解析　∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，∴－＞－＞0.
故－＞－＞0，则＜＜0.
3.(易错题)已知－1＜a＜2，－3＜b＜5，则a－b的取值范围是(　　)
A.(－3，2) B.(－6，5)
C.(－4，7) D.(－5，－1)
答案　B
解析　∵－3＜b＜5，∴－5＜－b＜3，
又－1＜a＜2，∴－6＜a－b＜5.
4.(2021·厦门期末)实数x，y满足x>y，则下列不等式成立的是(　　)
A.<1 B.2－x<2－y
C.lg(x－y)>0 D.x2>y2
答案　B
解析　由x>y，得－x<－y，所以2－x<2－y，故选B.
5.(多选)(2022·湖北七市联考)设a，b，c，d为实数，且a＞b＞0＞c＞d，则下列不等式正确的是(　　)
A.c2＜cd B.a－c＜b－d
C.ac＞bd D.－＞0
答案　AD
解析　对于A，c2－cd＝c(c－d)＜0，所以A正确；
对于B，a－c－(b－d)＝(a－b)－(c－d)，无法判断与0的大小关系，所以B错误；
对于C，不妨设a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，则ac＝bd，所以C错误；
对于D，－＝＞＝＞0，所以D正确.故选AD.
6.比较两数的大小：＋________＋.
答案　＞
解析　(＋)2＝17＋2，(＋)2＝17＋2，∴(＋)2＞(＋)2，∴＋＞＋.
　考点一　比较数(式)的大小
1.若a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是(　　)
A.A≤B B.A≥B C.A＜B D.A＞B
答案　B
解析　由题意得，B2－A2＝－2≤0，又A≥0，B≥0，所以A≥B.
2.若a＝，b＝，c＝，则(　　)
A.a<b<c B.c<b<a
C.c<a<b D.b<a<c
答案　B
解析　法一　易知a，b，c都是正数，＝＝log8164<1，所以a>b；＝＝log625
1 024>1，所以b>c.即c<b<a.
法二　构造函数f(x)＝，则f′(x)＝，
由f′(x)>0，得0<x<e；
由f′(x)<0，得x>e.
∴f(x)在(0，e)为增函数，在(e，＋∞)为减函数.
∴f(3)>f(4)>f(5)，即a>b>c.
3.已知等比数列{an}中，a1>0，q>0，前n项和为Sn，则与的大小关系为________.
答案　<
解析　当q＝1时，＝3，＝5，
所以<；
当q>0且q≠1时，
－＝－
＝＝<0，
所以<.综上可知<.
4.eπ·πe与ee·ππ的大小关系为________.
答案　eπ·πe＜ee·ππ
解析　＝＝，
又0＜＜1，0＜π－e＜1，
∴＜1，即＜1，
即eπ·πe＜ee·ππ.
感悟提升　1.作差法一般步骤：(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法