人教版高中数学第3讲 解三角形（解析版）.docx

第3讲 解三角形
高考预测一：三角形中的求值问题
类型一：三角恒等变换
1．在中，内角、、的对边分别为、、，已知．
（1）求的值；
（2）若，，求的面积．
【解析】解：（1），
，
，
，
，
；
（2）由（1）可得，
由余弦定理可得，
，
解得，则，
，
，
．
2．在中，内角、、所对的边分别为、、，已知，．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，，求的面积．
【解析】（本题满分为12分）
解：（Ⅰ）．
，分
可得：，可得：，分
中，，可得，
，
，可得：分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，
，可得：，，分
，分
，由正弦定理，可得：，分
分
（注：解法较多，酌情给分，直接的也给分）
3．的内角，，的对边分别为，，．设．
（1）求；
（2）若，求．
【解析】解：（1）的内角，，的对边分别为，，．
．
，
由正弦定理得：，
，
，．
（2），，
由正弦定理得，
解得，，，
．
4．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．
问题：的内角，，的对边分别为，，，若，___，求和．
【解析】解：若选①，，由正弦定理可得，
则，
由余弦定理可得，
又，
，
，
，
，
，
，
，
．
若选②，，由正弦定理可得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
若选③，由正弦定理可得，
，
，
或，
，
，
，
，
，
，
，
．
类型二：几何图形
5．在中，，，点在边上，，．
（1）求；
（2）求的面积．
【解析】解：（1）由，可得，
则．
（2）在中，由正弦定理可得，即，解得，
所以，
所以的面积．
6．如图，在中，，，点在边上，且，．
（1）求；
（2）求，的长．
【解析】解：（1）在中，因为，
所以，
所以
．
（2）在中，由正弦定理得，
在中，由余弦定理得：．
所以．
7．如图，在中，，，点在线段上．
（1）若，求的长；
（2）若，的面积为，求的值．
【解析】解：（1）中，，．
，．
中，由正弦定理可得，；
（2）设，则，
，的面积为，
，
，
由正弦定理可得，．
，，
，
．
8．如图，在平面四边形中，，，．
（1）求的值；
（2）若，，求的长．
【解析】解：，，
（1）在中，由余弦定理，得．
；
（2）设，则，
，
在中，由正弦定理，，
解得：．
即的长为3．
9．如图，在平面四边形中，，，，．
（1）求；
（2）若，求．
【解析】解：（1）中，，，，
由正弦定理得，
即，
解得；
（2）由，所以，
在中，由余弦定理得：
，
解得．
10．在平面四边形中，的面积为2．
（1）求的长；
（2）求的面积．
【解析】解：（1）由已知，
所以，又，所以，
在中，由余弦定理得：，
所以．
（2）由，得，所以，又，，
所以为等腰三角形，即，在中，由正弦定理得：，
所以．
11．如图，在平面四边形中，，，．
（1）当四边形内接于圆时，求四边形的面积；
（2）当四边形的面积最大时，求对角线的长．
【解析】（本题满分为14分）
解：（1）连接，由余弦定理可得：
，
，
可得：，分
又四边形内接于圆，则又，
所以：，化简可得：，
又，
所以，，分
所以，分
（2）设四边形的面积为，则，
可得：，分
可得：，可得：，平方后相加，可得：
，
即：，分
又，当时，有最大值，即有最大值．
此时，，代入，可得：，
又，可得：，分
在中，可得：，可得．分
12．如图所示，已知圆内接四边形，记．
（1）求证：；
（2）若，，，，求的值及四边形的面积．
【解析】解：（1）．
（2）由于：，，，，
由题知：，
可得：，