人教高中数学第二节 等差数列及其前n项和 教案.doc

第二节　等差数列及其前n项和
核心素养立意下的命题导向
1.理解等差数列的概念，凸显数学抽象的核心素养．
2．与一次函数相对比，掌握等差数列的通项公式及应用，凸显数学运算的核心素养．
3．与二次函数相结合，掌握等差数列的前n项和公式及应用，凸显数学运算的核心素养．
4．与具体的问题情境相结合，考查等差数列的概念，凸显数学建模的核心素养．
[理清主干知识]
1．等差数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．
数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．
(2)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝.
2．等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝＝n2＋n.
3．等差数列的性质
(1)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(2)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(3)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等差数列，公差为m2d.
(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列．
4．等差数列的相关结论
(1)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为.
(2)在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最值；若a1<0，d>0，则Sn存在最值．
(3)等差数列{an}的单调性：当d>0时，{an}是递数列；当d<0时，{an}是递数列；当d＝0时，{an}是常数列．
(4)数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，A≠0)．
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(求数列的项)在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝(　　)
A．－1　　　　　　　　　　 B．0
C．1 D．6
解析：选B　∵{an}为等差数列，
∴2a4＝a2＋a6，∴a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0.
2．(求公差)已知等差数列{an}中，a2＝1，前5项和S5＝－15，则数列{an}的公差为(　　)
A．－3 B．－
C．－2 D．－4
解析：选D　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
因为所以解得d＝－4.
3．(求项数)已知等差数列{an}的公差d≠0，且a3＋a9＝a10－a8，若an＝0，则n＝________.
解析：因为a3＋a9＝a10－a8，
所以a1＋2d＋a1＋8d＝a1＋9d－(a1＋7d)，解得a1＝－4d，
所以an＝－4d＋(n－1)d＝(n－5)d，
令(n－5)d＝0(d≠0)，可解得n＝5.
答案：5
4．(等差数列的性质)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.
解析：由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.
答案：180
二、易错点练清
1．(忽视数列中项为0的情况)已知等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使数列{an}的前n项和Sn取最大值的正整数n的值是________．
解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由|a3|＝|a9|，得|a1＋2d|＝|a1＋8d|，解得a1＝－5d或d＝0(舍去)，则a1＋5d＝a6＝0，a5>0，故使前n项和Sn取最大值的正整数n是5或6.
答案：5或6
2．(忽视相邻项的符号)首项为28的等差数列{an}，从第8项开始为负数，则公差d的取值范围是________．
解析：由题意知数列{an}满足即解得－≤d<－4.
答案：
3．(忽视项的符号)已知等差数列{an}的通项公式为an＝11－n，则|a1|＋|a2|＋…＋|a20|＝________.
解析：设Sn是数列{an}的前n项和，|a1|＋|a2|＋…＋|a20|＝(a1＋a2＋…＋a11)－(a12＋a13＋…＋a20)＝S11－(S20－S11)＝2S11－S20，而S11＝＝55，S20＝10×20＋×(－1)＝10，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a20|＝100.