人教高中数学专题05 相等关系与不等关系（解析版）.docx

专题05 相等关系与不等关系
1、【2022年新高考2卷】若x，y满足x2+y2−xy=1，则（       ）
A．x+y≤1 B．x+y≥−2
C．x2+y2≤2 D．x2+y2≥1
【答案】BC
【解析】因为ab≤a+b22≤a2+b22（a,b∈R），由x2+y2−xy=1可变形为，x+y2−1=3xy≤3x+y22，解得−2≤x+y≤2，当且仅当x=y=−1时，x+y=−2，当且仅当x=y=1时，x+y=2，所以A错误，B正确；
由x2+y2−xy=1可变形为x2+y2−1=xy≤x2+y22，解得x2+y2≤2，当且仅当x=y=±1时取等号，所以C正确；
因为x2+y2−xy=1变形可得x−y22+34y2=1，设x−y2=cosθ,32y=sinθ，所以x=cosθ+13sinθ,y=23sinθ，因此x2+y2=cos2θ+53sin2θ+23sinθcosθ=1+13sin2θ−13cos2θ+13
=43+23sin2θ−π6∈23,2，所以当x=33,y=−33时满足等式，但是x2+y2≥1不成立，所以D错误．
故选：BC．
2、【2020年新高考1卷（山东卷）】已知a>0，b>0，且a+b=1，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于A，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；
故选：ABD
3、（2021全国乙卷）设，，．则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】,
所以;
下面比较与的大小关系.
记则,，
由于
所以当0<x<2时，,即,,
所以在上单调递增，
所以,即,即;
令,则,,
由于，在x>0时,,
所以,即函数在[0,+∞)上单调递减，所以,即,即b<c;
综上，,
故选：B.
4、（2020全国I理14）若，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，则为增函数，∵，
∴，
∴，∴．
∴，
当时，，此时，有；当时，，此时，有，∴C、D错误，故选B．
5、（2020天津）设，则的大小关系为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题知，，易知函数在上单调递增，所以，所以，故选D．
6、（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，
所以.
故选：A.
7、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）
A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b
【答案】A
【解析】由题意可知、、，，；
由，得，由，得，，可得；
由，得，由，得，，可得.
综上所述，.
故选：A.
8、（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】则．故选B．
9、（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））若a>b，则
A．ln(a−b)>0 B．3a<3b
C．a3−b3>0 D．│a│>│b│
【答案】C
【解析】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．
题组一、不等式的性质及运用
1-1、（2021·河北石家庄市高三二模）（多选题）若实数，满足，则下列选项中一定成立的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】因为，所以，
所以或，
所以或，
所以，故A正确；
若，则，故B错误；
若，则，所以，故C错误；
因为或，所以，
所以，故D正确.
故选：AD
1-2、（2022·江苏如皋·高三期末）已知＝，b＝3－ln4，c＝，则下列选项正确的是（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b
【答案】C
【解析】，,即，
，，
，，，
故选：C
1-3、（2022·江苏苏州·高三期末）已知 则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】取，则，故A选项错误；
取，，，则B选项错误；
取，，则，，即，
故D选项错误；
关于C选项，先证明一个不等式：，令，，
于是时，递增；时，递减；
所以时，有极小值，也是最小值，
于是