人教高中数学专题26 随机变量及其分布(解析版).docx

专题26 随机变量及其分布
【考纲要求】
了解离散型随机变量的概念，理解随机变量分布列的性质
理解正态分布
一、随机抽样
【思维导图】
【考点总结】
一、条件概率与全概率公式
1 条件概率
① 定义
一般地，设A , B为两个事件,且P(A)>0 ,称P(B | A)= P(AB)P(A)为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率.
(1) 求“事件A已发生，事件B发生的概率”，可理解：如图，事件A已发生，则A为样本空间，此时事件B发生的概率是AB包含的样本点数与A包含的样本点数的比值，即
P(B | A)= nABnA=nABnΩnAnΩ= P(AB)P(A)
(通俗些理解，条件概率只是缩小了样本空间，P(B | A)就是以A为样本空间计算AB的概率)
② 概率的乘法公式
对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则
PAB=P(A)P(B | A)
设P(A)>0，则
(1) PΩA=1；
(2) 如果B和C互斥，那么 P[(B∪ C) | A]=P(B | A)+P(C | A)；
(3) 设B和B互为对立事件，则P(B | A)=1−P(B | A).
2 全概率公式
一般地，设A1 , A2 , … , An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪A2=Ω，且PAi>0，i=1 , 2 , … , n，则对任意的事件B⊆Ω，有
PB=i=1nPAiPB Ai)
我们称它为全概率公式.
贝叶斯公式：
设A1 , A2 , … , An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪A2=Ω，
且PAi>0，i=1 , 2 , … , n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有
PAiB=PAiBP(B)=PAiPB Ai)k=1nPAkPB Ak)，i=1 , 2 , … , n.
二、离散型随机变量
【考点总结】
一 离散型随机变量及其分布列
1 随机变量
① 概念
一般地，对于随机试验样本空间Ω中每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量.
②分类
随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量.
2 分布列
① 概念
一般地，设离散型随机变量X可能取的值为x1 , x2 , ⋯ , xi , ⋯ , xn，X取每一个值xi(i=1 , 2 , ⋯ , n)的概率P(X=xi)=pi，则称以下表格
X
x1
x2
⋯
xi
⋯
xn
P
p1
p2
⋯
pi
⋯
pn
为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列.
② 性质
离散型随机变量的分布列具有下述两个性质
1 Pi≥0 , i=1 , 2 ,⋯, n 2 p1+p2+⋯+pn=1
3 两点分布
如果随机变量X的分布列为
X
0
1
P
1−p
p
则称X服从两点分布，并称p=P(X=1)为成功概率.
二 离散型随机变量的数字特征
1 离散随机变量的均值（数学期望）
(1)概念
一般地，随机变量X的概率分布列为
X
x1
x2
⋯
xi
⋯
xn
P
p1
p2
⋯
pi
⋯
pn
则称 EX=x1 p1+x2 p2+⋯+xi pi+⋯+xn pn=i=1nxipi为X的数学期望或均值，简称为期望.
它是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，反映了离散型随机变量取值的平均水平.
(2)若Y=a X+b ，其中a , b为常数，则Y也是变量
Y
aX1+b
aX2+b
⋯
aXi+b
⋯
aXn+b
P
p1
p2
⋯
pi
⋯
pn
则 E (Y)=a E(X)+b，即 E(a X+b)=a E(X)+b.(利用期望的概念可以证明)
(3)一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么 EX=1× p+0×(1−p)=p
即若X服从两点分布，则 E(X)=p.
2 离散型随机变量取值的方差和标准差
（1）一般地,若离散型随机变量x的概率分布列为
X
x1
x2
⋯
xi
⋯
xn
P
p1
p2
⋯
pi
⋯
pn
则称
D X=x1−EX2p1+x2−EX2p2+⋯+xn−EX2 pn=i=1nxi−EX2 pi
为随机变量X的方差，有时候也记为V(x)，并称D(X)为随机变量X的标准差，记为σ(X)。
随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差越小，随机变量的取值越集中；方差越大，随机变量