人教专题09 平面向量 9.2数量积 题型归纳讲义-2022届数学一轮复习（解析版）.docx

专题九 《平面向量》讲义
9.2 数量积
知识梳理.数量积
1．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．
(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.
(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直．
2．平面向量的数量积
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则|a||b|·cos_θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cos_θ叫做向量a在b方向上的投影，
|b|cos_θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘积
3.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
4．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝
|a|＝
夹角
cos θ＝
cos θ＝
a⊥b的充
要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
题型一. 基本公式
1．若非零向量a→、b→满足|a→|=|b→|且(2a→+b→)⊥b→，则a→与b→的夹角为（　　）
A．π6 B．π3 C．2π3 D．5π6
【解答】解：∵非零向量a→、b→满足|a→|=|b→|，且(2a→+b→)⊥b→，设a→与b→的夹角为θ，θ∈[0，π]，
∴（2a→+b→）•b→=2a→•b→+b→2=0，即2a→•b→=−b→2，∴2|a→|•|a→|•cosθ=−|a→|2，
求得cosθ=−12，∴θ=2π3，
故选：C．
2．已知非零向量a→，b→夹角为45°，且|a→|＝2，|a→−b→|＝2．则|b→|等于（　　）
A．22 B．2 C．3 D．2
【解答】解：非零向量a→，b→夹角为45°，且|a→|＝2，|a→−b→|＝2．
可得a→2−2a→⋅b→+b→2=4，
4﹣22|b→|+|b→|2＝4
则|b→|＝22．
故选：A．
3．已知向量a→，b→及实数t满足|a→+tb→|＝3．若a→•b→=2，则t的最大值是　98　．
【解答】解：由于求t的最大值，即t＞0，
由|a→+tb→|＝3，a→•b→=2，
两边平方可得（a→+tb→）2＝9，
即为a→2+t2b→2+2ta→•b→=9，
即有a→2+t2b→2＝9﹣4t，
由a→2+t2b→2≥2t|a→|•|b→|≥2ta→•b→=4t，
当且仅当a→，b→同向时，取得等号．
由9﹣4t≥4t，解得t≤98．
即有t的最大值为98．
故答案为：98．
题型二. 几何意义——投影
1．设向量e1→，e2→是夹角为2π3的单位向量，若a→=3e1→，b→=e1→−e2→，则向量b→在a→方向的投影为（　　）
A．32 B．12 C．−12 D．1
【解答】解：∵向量e1→，e2→是夹角为2π3的单位向量，
∴|e1→|=|e2→|=1，e1→⋅e2→=1×1×cos2π3=−12．
|a→|=|3e1→|=3，
∴a→⋅b→=3e1→⋅(e1→−e2→)=3e1→2−3e1→⋅e2→=3−3×(−12)=92．
∴向量b→在a→方向的投影为b→⋅a→|a→|=923=32．
故选：A．
2．如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则AP→⋅AC→=　18　．
【解答】解：设AC与BD交于点O，则AC＝2AO
∵AP⊥BD，AP＝3，
在Rt△APO中，AOcos∠OAP＝AP＝3
∴|AC→|cos∠OAP＝2|AO→|×cos∠OAP＝2|AP→|＝6，
由向量的数量积的定义可知，AP→⋅AC→=|AP→||AC→|cos∠PAO＝3×6＝18
故答案为：18
3．如图，A是半径为5的圆O上的一个定点，单位向量AB→在A点处与圆O相切，点P是圆O上的一个动点，且点P与点A不重合，则AP→•AB→的取值范围是　[﹣5，5]　．
【解答】解：如图所示：设∠PAB＝θ，作OM⊥AP，则∠AOM＝θ，
∴sinθ=AMOA，AM＝5sinθ，AP＝2AM＝10sinθ．
∴AP→⋅AB→=10sinθ×1×cosθ＝5sin2θ∈[﹣5，5]，
故答案为：[﹣5，5]．
题型三. 转换基底
1．如图，在△ABC中，AD⊥AB，BC→=23BD→，|AD→|＝1，则AC→•AD→=（　　）