人教版专题17等式与不等式综合问题（单选+填空）（新高考通用）解析版.docx

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【冲刺985/211名校之2023届新高考题型模拟训练】
专题17 等式与不等式综合问题（单选+填空）（新高考通用）
一、单选题
1．（2023秋·江苏扬州·高三仪征中学校联考期末）已知且，则的最小值是（     ）
A．9 B．10 C． D．
【答案】D
【分析】由“1”的妙用和基本不等式可求得结果.
【详解】因为，
所以，
当且仅当即时，等号成立.
结合可知，当时，最小值.
故选：D.
2．（2023春·浙江宁波·高三校联考阶段练****非零实数满足成等差数列，则的最小值为（    ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】根据成等差数列，可将用表示，再将所求化简，利用基本不等式即可得解.
【详解】因为成等差数列，
所以，
所以，
则
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，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为.
故选：B.
3．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据基本不等式“1”的妙用可得的最小值为4，再根据含参不等式恒成立解一元二次不等式，即可得实数的取值范围.
【详解】正实数满足，
则，
当且仅当，即且时，等号成立，则时，取到最小值4，
要使不等式恒成立，即，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C.
4．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练****已知函数，正数满足，则的最小值（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用可得，由此可化简所求式子，结合基本不等式可求得最小值.
【详解】，且在上单调递减，
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由得：，即，，
（当且仅当时取等号），
则的最小值为.
故选：B.
5．（2023·湖南岳阳·统考一模）已知正实数x，y满足，则下列不等式恒成立的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用特殊值判断AC，利用不等式性质及指数函数单调性判断B，根据排除法判断D.
【详解】取，则不成立，故A错误；
由，当时，，所以，
即，故B错误；
取时，，而，
所以，故C错误；
由ABC错误，排除法知，故D正确.
故选：D
6．（2023·山东菏泽·统考一模）设实数满足，，，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分为与，去掉绝对值后，根据“1”的代换，化简后分别根据基本不等式，即可求解得出答案.
【详解】当时，，
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当且仅当，即，时等号成立，此时有最小值；
当时，.
当且仅当，即，时等号成立，此时有最小值.
所以，的最小值为.
故选：A.
7．（2023·山东潍坊·校考一模）若正实数a，b满足，且，则下列不等式一定成立的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数单调性及得到或，分别讨论两种情况下四个选项是否正确，A选项可以用对数函数单调性得到，B选项可以用作差法，C选项用作差法及指数函数单调性进行求解，D选项，需要构造函数进行求解.
【详解】因为，为单调递增函数，故，由于，故，或，
当时，，此时；
，故；
，；
当时，，此时，，故；
，；
故ABC均错误；
D选项，，两边取自然对数，，因为不管，还是，均有，所以，故只需证即可，
设（且），则，令（且），则，当时，，当时，，所以
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，所以在且上恒成立，故（且）单调递减，因为，所以，结论得证，D正确
故选：D
8．（2023秋·河北邢台·高三统考期末）若，且，则（    ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最小值为16 D．没有最小值
【答案】A
【分析】先将题意整理成，然后利用基本不等式可得到，最后检验是否成立即可
【详解】由，得.
因为，所以
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
由得,
设函数，
则由，得在上至少一个零点，
此时，故存在，使得不等式中的等号成立，
故的最小值为.
故选：A
【点睛】关键点睛：这道题关键的地方在于检验是否成立，需要构造，并结合零点存在定理进行验证
9．（2023秋·河北邯郸·高三统考期末）已知，，且，则的最小值为（    ）
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A．10 B．9 C． D．
【答案】C
【分析】由已知，可设，，利用换底公式表示出，带入中，得到m，n的等量关系，然后利用“1”的代换借助基本不等式即可求解最值.
【详解】由已知，令，，
所以，，代入得：，
因为，，
所以
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