人教高中数学思想02 分类与整合思想（讲）【解析版】.docx

第三篇 思想方法篇
思想02 分类与整合思想（讲）
考向速览
方法技巧 典例分析
一.分类整合思想的含义：
分类与整合思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度；分类研究后还要对讨论结果进行整合．
二.分类与整合思想在解题中的应用
(1)由数学概念引起的分类．有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．
(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论．有的定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．
(3)由数学运算和字母参数变化引起的分类．如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的限制，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．
(4)由图形的不确定性引起的分类讨论．有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．
三.分类方法与原则
1.简化分类讨论的策略: 分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的策略.
(1)消去参数；(2)整体换元；(3)变更主元；(4)考虑反面；(5)整体变形；(6)数形结合；(7)缩小范围等.
2.分类讨论遵循的原则是:
(1)不重不漏，科学地划分
(2)标准要统一，层次要分明，分清主次,不越级讨论.
(3)能不分类的要尽量避免，决不无原则的讨论.
3.解题时把好“四关”：
(1)要深刻理解基本知识与基本原理,把好“基础关”;
(2)要找准划分标准,把好“分类关”;
(3)要保证条理分明,层次清晰,把好“逻辑关”;
(4)要注意对照题中的限制条件或隐含信息,合理取舍,把好“检验关”.
四. 高考以解答题的方式考查分类与整合思想，主要是函数导数解答题、数列题和解析几何解答题等.
01 由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论
【核心提示】
1.有许多核心的数学概念是分类的,由数学概念引起的分类讨论,如绝对值的定义、二次函数的定义、分段函数的定义、异面直线所成角的定义、直线的斜率、指数函数、对数函数等.
2.在中学数学中,一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性,基本不等式,等比数列的求和公式在不同的条件下有不同的结论,或者在一定的限制条件下才成立,应根据题目条件确定是否进行分类讨论.
3.有些分类讨论的问题是由运算的需要引发的.比如除法运算中分母能否为零的讨论;解方程及不等式时,两边同乘一个数是否为零、正数、负数的讨论;二次方程运算中对两根大小的讨论;求函数单调性时,导数正负的讨论;排序问题;差值比较中的差的正负的讨论;有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等.
【典例分析】
典例1.（2023·河南·校联考模拟预测）已知，，，则下列判断正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合对数函数、导数的知识确定正确答案.
【详解】（1）比较a，b的大小：因为，所以，所以．
（2）比较b，c的大小：令，则．
当时，；当时，，
所以当时，，即，所以，即．
（3）比较a，c大小：
因为，所以，即，所以，即．
综上，．
故选：D．
【点睛】比较对数式的大小，结合的是对数函数的单调性，此时要注意对数函数的底数的取值范围对单调性的影响.比较对数式和实数的大小，可考虑分段法或构造函数法来进行求解.
典例2.（2022·全国·模拟预测）设正项数列的前项和满足，记表示不超过的最大整数，．若数列的前项和为，则使得成立的的最小值为(       )
A．1180 B．1179 C．2020 D．2021
【答案】A
【解析】
【分析】
利用通项公式和前n项和之间的关系求出数列的通项公式，再根据n的取值讨论并判断即可.
【详解】
①，
令，得，解得．
，②，
由①②可得，
整理得，
根据可知，
则数列是首项为1，公差为2的等差数列，
∴，．
∴，，
当时，，；
当时，，，
当时，，．
∵，，
∴使成立的的最小值为．
故选：A．
典例3.（2021·全国·高考真题）函数的最小值为______.
【答案】1
【解析】
【分析】
由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值.
【详解】
由题设知：定义域为，
∴当时，，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递减；
当时，，有，此时