期末复习专项训练（一）—立体几何—线面角大题1—高二上学期数学人教A版（选择性必修第一册（Word含答案）.doc

期末复****专项训练（一）—立体几何—线面角大题1
1．三棱柱中，侧棱与底面垂直，，，，分别是，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线和平面夹角的正弦值．
2．如图，已知三棱锥，等腰直角三角形的斜边是，且，，，是上的点，且．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值．
3．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，且．
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的余弦值．
4．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，平面平面，点在棱上，，，分别为，的中点，过，，三点的平面交于点，且平面．
（1）求的值；
（2）求与平面所成角的正弦值．
5．如图所示，边长为2的正方形和高为2的直角梯形所在的平面互相垂直且，且．
（Ⅰ）求和面所成的角的正弦值；
（Ⅱ）求点到直线的距离；
（Ⅲ）线段上是否存在点使过、、三点的平面和直线垂直，若存在，求与的比值；若不存在，说明理由．
6．如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，为等边三角形．
（1）求证：；
（2）若，，求与平面所成角的正弦值．
期末复****专项训练（一）—立体几何—线面角大题1答案解析
1．三棱柱中，侧棱与底面垂直，，，，分别是，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线和平面夹角的正弦值．
（1）证明：连接，，
在中，，分别为和的中点，
则，
因为平面，平面，
故平面；
（2）解：以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，0，，，2，，，0，，，2，，，0，，
所以，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，
故，
则，
故直线和平面夹角的正弦值为．
2．如图，已知三棱锥，等腰直角三角形的斜边是，且，，，是上的点，且．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值．
Ⅰ）证明：取中点，连接、，
因为等腰直角三角形的斜边是，，所以，，，
因为，，所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
因为，所以平面，
又因为平面，
所以．
（Ⅱ）解：取中点，连接，，
设点到平面的距离为，
因为，
所以，
解得，
，，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
3．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，且．
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的余弦值．
证明：底面，平面，
，
又，
，，平面．
平面．
平面，
平面平面；
由底面，
即为四棱锥的高，是直角三角形；
底面是矩形，，为的中点，且．
设，取的中点为．作交于，
连接，，，
可得，，
那么．且．，，，
是直角三角形，
根据勾股定理：，则；
由是直角三角形，
可得，
解得．
以为坐标原点，，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由，0，，，0，，，0，，，2，，
所以，2，，，0，，，2，
设平面的一个法向量为，，，
则，即，令，，，
所以平面的一个法向量为，，，
设直线与平面所成角为，
所以，，
所以直线与平面所成角的余弦值为．
4．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，平面平面，点在棱上，，，分别为，的中点，过，，三点的平面交于点，且平面．
（1）求的值；
（2）求与平面所成角的正弦值．
（1）因为平面，平面，平面平面，
所以．因为为的中点，为的中点，
所以．又因为底面为直角梯形，，所以．因为平面，平面，所以平面．
又因为平面平面，所以，
从而四边形为平行四边形，
又，所以，所以，
所以，所以．所以的值为．
（2）由题可知，，所以，所以．
又因为平面平面，且交于，所以平面．又，
以为坐标原点，分别以向量所在方向为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．所以，0，，，0，，，2，，，3，，，0，由（1）可知，即．所以，．
又为的中点，所以，1，．所以，设平面的一个法向量，所以
即令，所以，所以．
设与平面所成的角的平面角为，
所以．
故与平面所成角的正弦值为．
5．如图所示，边长为2的正方形和高为2的直角梯形所在的平面互相垂直且，且．
（Ⅰ）求和面所成的角的正弦值；
（Ⅱ）求点到直线的距离；
（Ⅲ）线段上是否存在点使过、、三点的平面和直线垂直，若存在，求与的比值；若不存在，说明理由．
解：（Ⅰ）因为平面平面，平面平面，
又因为，所以平面，
又因为是正方形，所以、、两两垂直，