人教A版高二选择性必修第二册5.1导数的概念及其意义（Word含解析）.docx

人教A版（2019）选择性必修第二册 5.1导数的概念及其意义
一、单选题
1．已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为
A． B． C． D．
2．已知函数的图像在处的切线斜率为，则“”是 “”的（       ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．下列说法正确的是（       ）．
A．曲线的切线和曲线有交点，这点一定是切点
B．过曲线上一点作曲线的切线，这点一定是切点
C．若不存在，则曲线在点处无切线
D．若曲线在点处有切线，则不一定存在
4．已知曲线在点处的切线方程为，则
A． B． C． D．
5．某地响应全民冰雪运动的号召，建立了一个滑雪场．该滑雪场中某滑道的示意图如下所示，点、点分别为滑道的起点和终点，它们在竖直方向的高度差为．两点之间为滑雪弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图像的一部分．综合考安全性与趣味性，在滑道的最陡处，滑雪者的身体与地面约成的夹角．若还要兼顾滑道的美观性与滑雪者的滑雪体验，则、两点在水平方向的距离约为（       ）
A． B． C． D．
6．已知M为抛物线上一点，C在点M处的切线交C的准线于点P，过点P向C再作另一条切线，则的方程为（       ）
A． B． C． D．
7．函数在[0，π]上的平均变化率为
A．1 B．2 C．π D．
8．若函数与函数的图象存在公切线，则正实数的取值范围是
A． B． C． D．
9．设曲线(e=2.718…为自然对数的底数)在点处的切线及直线和两坐标轴的正半轴所围成的四边形有外接圆，则（       ）
A． B． C． D．1
10．函数在区间上的平均变化率为（       ）
A．1 B．3 C．4 D．2
11．曲线在点处的切线斜率为8，则实数的值为（       ）
A． B．6 C．12 D．
12．已知函数，则该函数在处的切线斜率为（       ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
13．丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.定义：函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上的“严格凸函数”，称区间为函数的“严格凸区间”.则下列正确命题的序号为______.①函数在上为“严格凸函数”；②函数的“严格凸区间”为；③函数在为“严格凸函数”，则的取值范围为.
14．若直线是函数的图象在某点处的切线，则实数
a=____________.
15．在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____.
16．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.
给出下列四个结论：
①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是____________________．
三、解答题
17．已知函数的图象为曲线C．
(1)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线（均不与x轴垂直），求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围；
(2)证明：不存在与曲线C同时切于两个不同点的直线．
18．求函数的图象上过原点的切线方程．
19．已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）设函数，存在实数，使得不等式
成立，求的取值范围．
20．记、分别为函数、的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”．
（1）证明：函数与不存在“点”；
（2）若函数与存在“点”，求实数的值．
21．已知函数.
（1）若函数的图象上任意两个不同点的连线的斜率小于1，求证：.
（2）若，且函数的图象上任意一点处的切线的斜率为k，试证明当时，.
参考答案：
1．C
先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，转化为在上恒成立．
【详解】
∵，即，
（1）当时，，
当时，，
故当时，在上恒成立；
若在上恒成立，即在上恒成立，
令，则，
当函数单增，当函数单减，
故，所以．当时，在上恒成立；
综上可知，的取值范围是，
故选C．
本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合