人教2023届高考数学一轮教案第34讲 圆的方程（全国）（Word含解析）.zip

第34讲 圆的方程
【知识点总结】
一、基本概念
平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆.
二、基本性质、定理与公式
1.圆的四种方程
（1）圆的标准方程：，圆心坐标为(a,b)，半径为
（2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径
（3）圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是
（4）圆的参数方程：
①的参数方程为（为参数）；
②的参数方程为（为参数）.
注 对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为（为参数，(a,b)为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值.
2.点与圆的位置关系判断
（1）点与圆的位置关系：
①点P在圆外；
②点P在圆上；
③点P在圆内.
（2）点与圆的位置关系：
①点P在圆外；
②点P在圆上；
点P在圆内.
三、直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交
直线与圆的位置关系判断
1.几何法（圆心到直线的距离和半径关系）
圆心到直线的距离，则：
则直线与圆相交，交于两点，；
直线与圆相切；
直线与圆相离
2.代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）
由 ，消元得到一元二次方程，判别式为，则：
则直线与圆相交；
直线与圆相切；
直线与圆相离.
五、两圆位置关系的判断
用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：
设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则：
则两圆相交；
两圆外切；
两圆相离
两圆内切；
两圆内含（时两圆为同心圆）
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练****文））已知圆C的圆心在直线上，且与直线相切于点，则圆C方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
设圆心为，则圆心与点的连线与直线l垂直，即，
则点，所以圆心为，半径，
所以方程为，
故选：C
例2．（2022·全国·高三专题练****点在圆上，点在圆上，则（ ）
A．的最小值为
B．两圆公切线有两条
C．两个圆心所在的直线斜率为
D．两个圆相交弦所在直线的方程为
【答案】AC
【详解】
由圆的方程知：圆的圆心，半径；圆的圆心，半径；
，两圆外切；
对于A，若重合，为两圆的切点，则，A正确；
对于B，两圆外切，则公切线有条，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，两圆相外切，两个圆不存在相交弦，D错误.
故选：AC.
例3．（2022·全国·高三专题练****求圆心在直线上，且过两圆，
交点的圆的方程．
【详解】
依题意可得，圆心在圆和圆公共弦的垂直平分线上．
联立，解得，
则两圆交点为，
则其公共弦的垂直平分线为，即
所以圆心是直线与直线的交点，
联立，解得．
则圆半径
所以圆方程为
例4．（2021·湖南·攸县第三中学高三阶段练****已知圆的方程：.
（1）求的取值范围；
（2）当圆过A(1，1)时，求直线被圆所截得的弦的长.
【详解】
解：（1）圆的方程可化为
令得
（2）∵圆过A(1，1)代入得，圆方程为
圆心(1，2)，半径,
圆心(1，2)到直线的距离为
∴.
例5．（2020·江苏·高三专题练****的三个顶点的坐标是求它的外接圆的方程．
【详解】
设所求圆的方程为：，则圆经过三点
，解之得.
所以所求圆的方程为：.
例6．（2020·全国·高三专题练****已知圆C：（x+2）2+y2＝5，直线l：mx﹣y+1+2m＝0，m∈R.
（1）判断直线与圆的位置关系，并说明理由；
（2）若直线与圆交于两点，求弦AB的中点M的轨迹方程.
【详解】
（1）直线：，也即，
故直线恒过定点，
又，故点在圆内，
此时直线一定与圆相交.
（2）设点，
当直线斜率存在时，，
又，，
即，
化简可得：；
当直线斜率不存在时，显然中点的坐标为也满足上述方程.
故点的轨迹方程为：.
例7．（2021·全国·高三专题练****理））已知点，点在圆上运动.
（1）求过点且被圆截得的弦长为的直线方程；
（2）求的最值.
【详解】
(1)依题意,直线的斜率存在,因为过点且被圆截得的弦长为,所以圆心到直线的距离为,设直线方程为,即,所以,解得或所以直线方程为或.
(2)设点坐标为则.
因为,所以,即的最大值为88,最小值为72.
例8．（2021·辽宁·沈阳二中高三阶段练****已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28