2024年高考数学一轮复习（人教版） 第8章　必刷大题17　解析几何.docx

必刷大题17　解析几何
1．(2022·南通模拟)已知P为抛物线C：y2＝4x上位于第一象限的点，F为C的焦点，PF与C交于点Q(异于点P)．直线l与C相切于点P，与x轴交于点M.过点P作l的垂线交C于另一点N.
(1)证明：线段MP的中点在定直线上；
(2)若点P的坐标为(2,2)，试判断M，Q，N三点是否共线．
解　(1)设P(x0，y0)，则y＝4x0，
因为点P在第一象限，
所以y0＝2，
对y＝2两边求导得y′＝，
所以直线l的斜率为，
所以直线l的方程为y－2＝(x－x0)，
令y＝0，则x＝－x0，
所以M(－x0,0)，
所以线段MP的中点为，
所以线段MP的中点在定直线x＝0上．
(2)若P(2,2)，则M(－2,0)．
所以kMP＝，kPF＝2，
因为PN⊥l，
所以kPN＝－，
所以直线PF：y＝2(x－1)，
直线PN：y＝－(x－4)．
由得2x2－5x＋2＝0，
所以x＝或2，
所以Q，
由得x2－10x＋16＝0，
所以x＝2或8，
所以N(8，－4)．
因为M(－2,0)，Q，N(8，－4)，
所以kMQ＝－，kMN＝－，
所以M，Q，N三点共线．
2．(2023·石家庄模拟)已知E(，0)，F，点A满足|AE|＝|AF|，点A的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m与双曲线：－＝1交于M，N两点，且∠MON＝(O为坐标原点)，求点A到直线l距离的取值范围．
解　(1)设A(x，y)，因为|AE|＝|AF|，
所以
＝×，
将等式两边平方后化简得x2＋y2＝1.
(2)将直线l：y＝kx＋m与双曲线－＝1联立，得⇒(4k2－9)x2＋8kmx＋4m2＋36＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
所以有即m2＋9>4k2且k≠±，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
因为∠MON＝，
所以⊥，即·＝0，所以x1x2＋y1y2＝0⇒x1x2＋(kx1＋m)·(kx2＋m)＝0，
化简得(k2＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0，
把x1＋x2＝－，x1x2＝代入，得(k2＋1)·＋km·＋m2＝0，化简得m2＝，因为m2＋9>4k2且k≠±，
所以有＋9>4k2且k≠±，解得k≠±，
圆x2＋y2＝1的圆心为(0,0)，半径为1，
圆心(0,0)到直线l：y＝kx＋m的距离为d＝＝＝>1，
所以点A到直线l距离的最大值为＋1，最小值为－1，
所以点A到直线l距离的取值范围为.
3．(2023·广州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，点F(1,0)为椭圆的右焦点，过点F且斜率不为0的直线l1交椭圆于M，N两点，当l1与x轴垂直时，|MN|＝3.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)A1，A2分别为椭圆的左、右顶点，直线A1M，A2N分别与直线l2：x＝1交于P，Q两点，证明：四边形OPA2Q为菱形．
(1)解　由题可知c＝1.
当l1与x轴垂直时，不妨设M的坐标为，
所以
解得a＝2，b＝.
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)证明　设l1的方程为x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立消去x得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，
易知Δ