人教版高中数学7 第6讲　双曲线　新题培优练.doc

[基础题组练]
1．“k<9”是“方程＋＝1表示双曲线”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.因为方程＋＝1表示双曲线，所以(25－k)(k－9)<0，所以k<9或k>25，
所以“k<9”是“方程＋＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.
2．(2018·高考全国卷Ⅱ)双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)
A．y＝±x　　　　 B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：选A.法一：由题意知，e＝＝，所以c＝a，所以b＝＝a，所以＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，故选A.
法二：由e＝＝＝，得＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，故选A.
3．(一题多解)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　　)
A．(－1，3)　　　　　　　　 B．(－1，)
C．(0，3) D．(0，)
解析：选A.法一：由题意可知：c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2，其中c为半焦距，
所以2c＝2×|2m|＝4，所以|m|＝1，
因为方程－＝1表示双曲线，
所以(m2＋n)·(3m2－n)>0，
所以－m2<n<3m2，所以－1<n<3.故选A.
法二：因为原方程表示双曲线，且焦距为4，
所以　①
或　②
由①得m2＝1，n∈(－1，3)．②无解．故选A.
4．若双曲线C1：－＝1与C2：－＝1(a>0，b>0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b＝(　　)
A．2　　　　　　　　　　　 B．4
C．6 D．8
解析：选B.由题意得，＝2⇒b＝2a，C2的焦距2c＝4⇒c＝＝2⇒b＝4，故选B.
5．(一题多解)(2019·开封模拟)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F(－c，0)作圆O：x2＋y2＝a2的切线，切点为E，延长FE交双曲线于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C.＋1 D.
解析：选A.法一：如图所示，不妨设E在x轴上方，F′为双曲线的右焦点，连接OE，PF′，
因为PF是圆O的切线，所以OE⊥PE，又E，O分别为PF，FF′的中点，所以|OE|＝|PF′|，又|OE|＝a，所以|PF′|＝2a，根据双曲线的性质，|PF|－|PF′|＝2a，所以|PF|＝4a，所以|EF|＝2a，在Rt△OEF中，|OE|2＋|EF|2＝|OF|2，即a2＋4a2＝c2，所以e＝，故选A.
法二：连接OE，因为|OF|＝c，|OE|＝a，OE⊥EF，所以|EF|＝b，设F′为双曲线的右焦点，连接PF′，因为O，E分别为线段FF′，FP的中点，所以|PF|＝2b，|PF′|＝2a，所以|PF|－|PF′|＝2a，所以b＝2a，所以e＝＝.
6．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝(　　)
A. B．3
C．2 D．4
解析：选B.因为双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，所以∠MON＝60°.不妨设过点