人教版高中数学第6讲　正弦定理和余弦定理.doc

第6讲　正弦定理和余弦定理
一、知识梳理
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝＝＝2R
(R为△ABC外接圆半径)
a2＝b2＋c2－2bccos_A；
b2＝c2＋a2－2cacos_B；
c2＝a2＋b2－2abcos_C
变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
(2)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；
(3)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
2.△ABC的面积公式
(1)S△ABC＝a·h(h表示边a上的高)．
(2)S△ABC＝absin C＝acsin B＝bcsin A．
(3)S△ABC＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).
3．三角形解的判断
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin A<a<b
a≥b
a>b
解的个数
一解
两解
一解
一解
[注意]　上表中A为锐角时，a<bsin A，无解．
A为钝角或直角时，a＝b，a<b均无解．
常用结论
1．三角形内角和定理
在△ABC中，A＋B＋C＝π；
变形：＝－.
2．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C．
(2)cos(A＋B)＝－cos C．
(3)sin＝cos .
(4)cos＝sin .
3．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；
b＝acos C＋ccos A；
c＝bcos A＋acos B．
二、教材衍化
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若c<bcos A，则△ABC为(　　)
A．钝角三角形　　　　　　 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
答案：A
2．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选C．因为在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，所以由余弦定理得cos∠BAC＝＝＝－，因为∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝.故选C．
3．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．
解析：设△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，由题意及余弦定理得cos A＝＝＝，解得c＝2.所以S＝bcsin A＝×4×2×sin 60°＝2.
答案：2
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(　　)
(2)在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B．(　　)
(3)在△ABC中的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×
二、易错纠偏
(1)利用正弦定理求角，忽视条件限制出现增根；
(2)不会灵活运用正弦、余弦定理．
1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝________．
解析：由题意：＝，即sin B＝＝＝，结合b＜c可得B＝45°，则A＝180°－B－C＝75°.
答案：75°
2．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－，3sin A＝2sin B，则c＝________．
解析：由3sin A＝2sin B及正弦定理，得3a＝2b，所以b＝a＝3.
由余弦定理cos C＝，
得－＝，解得c＝4.
答案：4
考点一　利用正、余弦定理解三角形(基础型)
通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，能正确地解决问题．
核心素养：数学运算
(1)(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则＝(　　)
A．6　　　　　　　　　　　 B．5
C．4 D．3
(2)(2020·济南市学****质量评估)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c＋a＝2bcos A．
①求角B的大小；
②若a＝5，c＝3，边AC的中点为D，求BD的长．
【解】　(1)选A．由题意及正弦定理得，b2－a2＝－4c2，所以由余弦定理得，cos A＝＝＝－，得＝6.故选A．
(2)①由2c＋a＝2bcos A及正弦定理，
得2sin C＋sin A＝