2022届高考数学一轮复习（人教版）第1章 §1.3　全称量词与存在量词.docx

§1.3　全称量词与存在量词
考试要求　1.理解全称量词和存在量词的意义.2.能正确地对含一个量词的命题进行否定．
1．全称量词和存在量词
(1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“∀”表示．
(2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，用符号“∃”表示．
2．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定
命题名称
语言表示
符号表示
命题的否定
全称命题
对M中任意一个x，有p(x)成立
∀x∈M，p(x)
∃x0∈M，綈p(x0)
特称命题
存在M中的一个x0，使p(x0)成立
∃x0∈M，p(x0)
∀x∈M，綈p(x)
微思考
1．怎样判断一个特称命题是真命题？
提示　要判定特称命题“∃x0∈M，P(x0)”，只需在集合M找到一个x0，使P(x0)成立即可．
2．命题p和綈p可否同时为真，思考一下此结论在解题中的作用？
提示　命题p和綈p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真假．
题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)至少有一个三角形的内角和为π是全称命题．(　×　)
(2)“全等三角形的面积相等”是特称命题．(　×　)
(3)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．(　√　)
题组二　教材改编
2．命题“∀x∈R，x2＋x＋1>0”的否定是________．
答案　∃x0∈R，x＋x0＋1≤0
3．命题“∃x0∈N，x≤0”的否定是________．
答案　∀x∈N，x2>0
4．命题“对于函数f(x)＝x2＋(a∈R)，存在a∈R，使得f(x)是偶函数”为________命题．(填“真”或“假”)
答案　真
解析　当a＝0时，f(x)＝x2(x≠0)为偶函数．
题组三　易错自纠
5．(多选)下列命题的否定中，是全称命题且为真命题的有(　　)
A．∃x0∈R，x－x0＋<0
B．所有的正方形都是矩形
C．∃x0∈R，x＋2x0＋2＝0
D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0
答案　AC
解析　由条件可知：原命题为特称命题且为假命题，所以排除BD；又因为x2－x＋＝2≥0，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0，所以AC均为特称命题且为假命题，故选AC.
6．若命题“∃t0∈R，t－2t0－a<0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
答案　(－∞，－1]
解析　命题“∃t0∈R，t－2t0－a<0”是假命题，等价于∀t∈R，t2－2t－a≥0是真命题，
∴Δ＝4＋4a≤0，解得a≤－1.
∴实数a的取值范围是(－∞，－1]．
题型一 全称命题、特称命题的真假
例1 (1)以下四个命题既是特称命题又是真命题的是(　　)
A．锐角三角形有一个内角是钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
答案　B
解析　A中锐角三角形的内角都是锐角，所以A是假命题；B中当x＝0时，x2＝0，满足x2≤0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0不是无理数，所以C是假命题；D中对于任意一个负数x，都有<0，不满足>2，所以D是假命题．
(2)下列四个命题：
①∃x0∈(0，＋∞)，；
②∃x0∈(0,1)，；
③∀x∈(0，＋∞)，；
④∀x∈，.
其中真命题的序号为________．
答案　②④
解析　对于①，当x∈(0，＋∞)时，总有x>x成立，故①是假命题；
对于②，当x＝时，有成立，故②是真命题；
对于③，当0<x<时，，故③是假命题；
对于④，∀x∈，，故④是真命题．
思维升华 判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判定特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x0，使p(x0)成立．
跟踪训练1 (1)下列命题中的假命题是(　　)
A．∀x∈R,2x－1>0
B．∀x∈N*，(x－1)2>0
C．∃x0∈R，lg x0<1
D．∃x0∈R，tan x0＝2
答案　B
解析　当x∈N*时，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，当且仅当x＝1时取等号，故B不正确；易知A，C，D正确，故选B.
(2)已知函数f(x)＝，则(　　)
A．∃x0∈R，f(x0)<0
B．∀x∈(0，＋∞)，f(x)≥0
C．∃x1，x2∈[0，＋∞)，<0
D．∀x1∈[0，＋∞)，∃x2∈[0，＋∞)，f(x1)>f(x2)
答案　B
解析