人教高中数学解密22 抛物线（解析版）.docx

解密22 抛物线
【考点解密】
1．抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程和几何性质
标准
方程
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点
坐标
O(0,0)
对称轴
x轴
y轴
焦点
坐标
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线
方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口
方向
向右
向左
向上
向下
焦半径
x0＋
－x0＋
y0＋
－y0＋
通径长
2p
【方法技巧】
求圆锥曲线中的有关三角形的面积时，常联立直线与曲线的方程，根据韦达定理求出弦长.然后根据点到直线的距离公式，求出三角形的高，即可得出.
【核心题型】
题型一：定义法求焦半径
1．（2023·山西晋中·统考二模）设F为抛物线C：的焦点，点M在C上，点N在准线l上且MN平行于x轴，若，则（    ）
A． B．1 C． D．4
【答案】D
【分析】由抛物线方程可知焦点坐标及准线方程，设准线与轴交点为，画出图象，由抛物线定义及可知是正三角形，结合平行关系可判断，利用直角三角形性质即可求解.
【详解】由题可知，，抛物线焦点F为，准线l为，设准线l与x轴的交点为E，如图所示，
由题知，由抛物线的定义可知，
因为，所以是正三角形，则在中，因为，
所以，所以．
故选：D
2．（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考一模）已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为6，到轴的距离为3，O为坐标原点，则（    ）
A． B．6 C． D．9
【答案】C
【分析】根据抛物线定义及题意求出，得出点A的坐标即可求解.
【详解】由已知及抛物线的定义可得，解得，
∴抛物线方程为，
，即，代入抛物线方程可得，
∴，.
故选：C
3．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，若的面积为，则（    ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【分析】根据抛物线定义求得点横坐标，代入抛物线方程得纵坐标，再利用三角形面积公式即可得的值.
【详解】抛物线的焦点为，点在抛物线上，由抛物线的定义可得，
，则，
，解得或（舍）.
故选：B.
题型二：定义法求焦点弦
4．（2021秋·陕西西安·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与抛物线交于A（点A在第二象限），两点，则（    ）
A． B． C．4 D．5
【答案】A
【分析】求出焦点坐标，设出直线方程，与抛物线方程联立，设，则，，从而利用焦半径公式和焦点弦公式求出，得到答案.
【详解】抛物线方程为，故焦点坐标为，则直线方程为，
与联立得：，
即，
设，
则，，
，
则，，
所以.
故选：A
5．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，直线l过焦点F且与抛物线交于点，，与抛物线C的准线交于点Q，若（O为坐标原点），，则（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】将三角形面积间的数量关系转化为线段长之间的数量关系，求得有关线段的数量关系，并根据三角形相似建立方程，解方程得到结果.
【详解】对于△OQN和△OFN，底边QN和FN上的高均为点O到直线l的距离，故由可得，
如图，分别过点M，N作准线的垂线，垂足分别为点，，
设，则，，故．
因为，所以．
在直角三角形中，，，，所以，所以，解得．
设抛物线的准线与x轴交于点，则，所以，
即，解得，
故选：B．
6．（2023秋·福建龙岩·高三校联考期末）抛物线的焦点为，对称轴为，过且与的夹角为的直线交于，两点，的中点为，线段的中垂线交于点．若的面积等于，则等于（    ）
A． B．4 C．5 D．8
【答案】D
【分析】依题意不妨设抛物线为，不妨设直线的倾斜角为，直线，设，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可求出的坐标，从而求出直线的方程，则的坐标可求，再根据三角形面积求出，最后根据焦半径公式计算可得.
【详解】解：依题意不妨设抛物线为，则，
根据对称性不妨设直线的倾斜角为，则直线，
设，，则，消去整理得，
所以，则，
所以，则直线的方程为，令，解得，即，
所以，解得或（舍