人教高中数学专题11 抛物线中的切线问题（解析版）.docx

专题11 抛物线中的切线问题
一、考情分析
对于抛物线特别是抛物线,可以化为函数,从而可以借组导数研究求性质,这种关联使得可以把抛物线与导数的几何意义交汇,这是圆锥曲线中的一大亮点,也是圆锥曲线解答题的一个热点.
二、解题秘籍
(一) 利用判别式求解抛物线中的切线问题
求解直线抛物线相切问题,可以把直线方程与抛物线方程联立整理成一个一元二次方程,然后利用求解.
【例1】（2023届河南省新未来高三上学期联考）已知抛物线C：,直线,都经过点．当两条直线与抛物线相切时,两切点间的距离为4．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若直线,分别与抛物线C依次交于点E,F和G,H,直线EH,FG与抛物线准线分别交于点A,B,证明：．
【解析】（1）设经过点的直线为：,由消去y,得,,当直线与抛物线相切时,,∵,∴,所以,解得,∴切点为,又∵两切点间的距离为4,∴,即,∴抛物线的标准方程为；
（2）设点,,,,设直线：,直线：,联立消去,得,则,同理,,故,,直线EH的方程为,令,得,整理得,同理,,所以,∴．
(二) 利用导数几何意义求解抛物线中的切线问题
求解抛物线在其上一点处的切线方程,可先把化为,则,则抛物线在点处的切线斜率为,切线方程为.
【例2】（2023届湖南省三湘名校教育联盟高三上学期联考）在直角坐标系中,已知抛物线,为直线上的动点,过点作抛物线的两条切线,切点分别为,当在轴上时,.
(1)求抛物线的方程；
(2)求点到直线距离的最大值.
【解析】（1）当在轴上时,即,由题意不妨设则,
设过点的切线方程为,与联立得,
由直线和抛物线相切可得,,所以
由得,∴,,
由可得,解得,
∴抛物线的方程为；
（2）,∴,
设,,则,又,所以
即,同理可得,
又为直线上的动点,设,
则,,
由两点确定一条直线可得的方程为,
即,∴直线恒过定点,
∴点到直线距离的最大值为.
(三) 抛物线中与切线有关的性质
过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线,
则(1)切线交点在准线上
(2)切线交点与弦中点连线平行于对称轴
(3)切线交点与焦点弦的两端点连线垂直
(4) 切线交点与焦点连线与焦点弦垂直
(5)弦AB不过焦点即切线交点P不在准线上时,切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．
反之：
(1)过抛物线准线上任一点作抛物线的切线,则过两切点的弦必过焦点,该点与焦点连线垂直于过两切点的弦
(2)过准线上任一点作抛物线的切线,过两切点的弦最短时,即为通径．
【例3】已知抛物线的焦点为F,过F的直线l与C相交于A,B两点,,是C的两条切线,A,B是切点．当轴时,．
(1)求抛物线C的方程；
(2)证明：．
【解析】（1）由题意,,当轴时,将代入有,解得,又故,解得.
故抛物线C的方程为.
（2）由（1）,设,直线的方程为,联立抛物线方程有,故.
又抛物线方程,故,故切线的方程为,即,同理可得切线的方程为,联立可得,解得,代入有,代入韦达定理可得.
故当时有,当时,因为,故,也满足.故恒成立.又,故.
所以,,故,故,故,即,即得证.
【例4】已知直线过原点,且与圆交于,两点,,圆与直线相切,与直线垂直,记圆心的轨迹为曲线．
（1）求的方程；
（2）过直线上任一点作的两条切线,切点分别为,,证明：
①直线过定点；
②．
【解析】（1）如图,设,
因为圆与直线相切,所以圆Ａ的半径为．
由圆的性质可得,即,化简得．
因为与不重合,所以,
所以的方程为．
（2）证明：①由题意可知,与不重合．
如图,设,,则,
因为,所以切线的斜率为,
故,整理得．
设,同理可得．
所以直线的方程为,
所以直线过定点．
②因为直线的方程为,
由消去得,
所以,．
又
,
所以．
三、跟踪检测
1.（2023届云南省名校高三上学期月考）已知抛物线的焦点为F,斜率为的直线l与E相切于点A.
(1)当,时,求E的方程；
(2)若直线与l平行,与E交于B,C两点,且,设点F到的距离为,到l的距离为,试问：是否为定值？若是,求出定值；若不是,说明理由.
【解析】（1）由得,则,
令,则,即,
则,所以,故抛物线E的方程为.
（2）设,,,
则切线l的斜率,
则切线l的方程为：,即,
.
直线的方程为,化简得,
因为,所以,
由得,
则,即,
即.
由,则,,
所以.
故是定值,定值为3.
2.（2023届河南省北大公学禹州国际学校高三上学期月考）已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点在y轴的正半轴上,直线l：经过抛物线C的