沪教版2019-2020学年高二上学期期末数学试题.docx

上海中学高二上期末数学试卷
一、填空题
1. 若复数，则______.
2. 抛物线的准线方程是______.
3. 椭圆的焦距是______.
4. 已知复数，满足集合，则______.
5. 计算：______.
6. 已知抛物线：，过焦点作直线与抛物线交于、两点，则的取值范围是______.
7. 已知为双曲线右支上的一个动点，若点到直线的距离大于恒成立，则实数的取值范围是______.
8. 平面上一台机器人在运行中始终保持到点的距离比到点的距离大2，若机器人接触不到过点且斜率为的直线，则的取值范围是______.
9. ，分别为椭圆：的左右焦点，为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率是______.
10. 已知一族双曲线：，设直线与在第一象限内的交点为，在的两条渐近线上的射影分别是，，记的面积是，则______.
11. 已知点，椭圆上两点，满足，当______时，点横坐标的绝对值最大.
12. 已知椭圆：左、右焦点分别为，，短轴的两个端点分别为，，点在椭圆上，且满足，当变化时，给出下列四个命题：①点的轨迹关于轴对称；②存在使得椭圆上满足条件的点仅有两个；③的最小值为2；④最大值为，其中正确命题的序号是______.
二、选择题
13. “”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（ ）条件
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要
14. 双曲线的一条渐近线与直线垂直，则此双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. D.
15. 给出下列四个命题：①若复数，满足，则；②若复数，满足，则；③若复数满足，则是纯虚数；④若复数满足，则是实数，其中真命题的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
16. 已知为抛物线的焦点，点，在抛物线上且位于轴的两侧，且（其中是坐标原点），则与的面积之和的最小值是（ ）
A. 2 B. 3 C. D.
三、解答题
17. 已知复数满足，求.
18. 已知复数（其中是虚数单位，）.
（1）若复数是纯虚数，求的值；
（2）求的取值范围.
19. 假定一个弹珠（设为质点，半径忽略不计）的运行轨迹是以小球（半径）的中心为右焦点的椭圆，已知椭圆的右端点到小球表面最近的距离是1，椭圆的左端点到小球表面最近的距离是5.
.
（1）求如图给定的坐标系下椭圆的标准方程；
（2）弹珠由点开始绕椭圆轨道逆时针运行，第一次与轨道中心的距离是时，弹珠由于外力作用发生变轨，变轨后的轨道是一条直线，称该直线的斜率为“变轨系数”，求的取值范围，使弹珠和小球不会发生碰撞.
20. 已知曲线的参数方程是（参数）.
（1）曲线的普通方程；
（2）过点的直线与该曲线交于，两点，求线段中点的轨迹方程.
21. 由半圆和部分抛物线合成的曲线称为“羽毛球形线”，且曲线经过点.
（1）求的值；
（2）设，，过且斜率为的直线与“羽毛球形线”相交于，，三点，是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
22. 已知椭圆：经过点，，直线：与椭圆相交于，两点，与圆相切与点.
（1）求椭圆的方程；
（2）以线段，为邻边作平行四边形，若点在椭圆