人教版高中数学第2讲 不等式（解析）.docx

第2讲 不等式的性质及其解法
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法
(2)证明不等式还常用综合法、反证法和分析法.
2.不等式的性质
(1)不等式的性质
①可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；
②可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；
a>b，c<0⇒ac<bc；
③传递性：a>b，b>c⇒a>c；
④对称性：a>b⇔b<a.
(2)不等式的推论
①移项法则：a＋b>c⇔a>c－b；
②同向不等式相加：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；
③同向不等式相乘：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；
④可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n>1)；
⑤可开方性：a>b>0⇒>.
3.绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集
不等式
a>0
a＝0
a<0
|x|<a
(－a，a)
∅
∅
|x|>a
(－∞，－a)∪(a，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)
R
(2)|ax＋b|≤c (c>0)和|ax＋b|≥c (c>0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想.
4.三个“二次”间的关系
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图像
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
(a＞0)的根
有两相异实根x1，x2(x1＜x2)
有两相等实根
x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0
(a＞0)的解集
R
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅
5.一般地，如果x1＜x2，则不等式(x－x1)(x－x2)＜0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)·(x－x2)＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞).
6.分式不等式及其解法
(1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0).
(2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
考点和典型例题
不等式的性质
【典例1-1】（2022·安徽·芜湖一中高三阶段练****文））已知，且，则以下不正确的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
，，，故A，B正确；
，即，故C正确；
对两边同除得，故D错误.
故选：D.
【典例1-2】（2022·安徽黄山·二模（文））设实数、满足，则下列不等式一定成立的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
对于A：当，时不成立，故A错误；
对于B：当，，所以，，即，故C错误；
对于C：当时