人教高中数学第28讲 高考中的应用题解法（教师版）.docx

第28讲 高考中的应用题解法
数学源于生活，应用所学数学知识解决实际问题是能力与素养的具体表现，数学应用问题的是新高考的重点与热点，在近几年的高考题中，常见的有与经济有关即利润最大化和成本最小化为背景的应用题，也有以三角函数，平面几何图形、空间几何体为背景的图形应用题．本文集中介绍以三角，函数，不等式，几何图形为载体的应用问题. 涉及平面图形的数学应用问题，通常的处理方法是仔细审题，明确解题方向，结合所给平面图形的结构特征以及相关性质，适当选取参数(如角、线段的长度等)，建立数学模型，运用所学的数学知识予以解决，其中，运用基本不等式、三角函数的最值以及利用函数的性质求最值是常见数学知识和方法．
三角函数
例1：1．如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中．
(1)将十字形的面积表示为的函数；
(2)为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？
【答案】(1).
(2)
【分析】（1）首先利用表示出面积表达式，再利用三角函数替换，结合的范围即可.
（2）对面积表达式利用二倍角公式以及降次公式化简，再结合辅助角公式即可化简，最后结合角的范围求出最值.
【详解】（1）设为十字形的面积，则，又圆的直径为，则，因为
，所以，所以.从而
.故.
（2）
.
其中.
所以当，即时,最大,且最大值为.
2.某隧道横断面由半圆及矩形的三边组成，尺寸如图，一平板车车身高1米，车上装载截面为长方形的货物，为了保证行车安全，要求货物距隧道顶部距离不得少于0.5米．
（1）如果车上装载货物截面长方形的宽为3米，货物的最大高度是多少？
（2）适当调整货物的宽与高（不受车宽影响），可以使货物截面的面积最大，从而使运载的货物最多，试问应如何调整，才能使装载的货物最多？
解：如图，设半圆圆心为O，平行于矩形底边的直径为AB，
货物右边界所在直线与半圆、直径AB、矩形底边的的
交点分别为P,M,N，．
（1）如果装载货物宽度为3米，则OM=1.5（米），所以，
（米）
所以货物的最大高度为（米）
（2）由，知货物宽度为，．
货物高度为，
货物截面面积，
由解得或（舍去），所以．
当时，；当时，．
所以当时，S取最大值，此时，
，
即当货物宽度为米，高度为3米时，截面面积最大，所装货物最多．
分段函数
例2：某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地时间的平均用时，某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S中x%(0＜x＜100)的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f(x)＝(单位：分钟)，而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
(1) 当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
(2) 求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式；试讨论g(x)的单调性，并说明其实际意义．
解：(1) 2x＋－90＞40.由于x＞0，故x2－65x＋900＞0，解得45＜x＜100.
故当45＜x＜100时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间．
(2) 当0＜x≤30时，g(x)＝30×x%＋40(1－x%)＝40－；
当30＜x≤100时，g(x)＝×x%＋40(1－x%)＝－＋58.
所以g(x)＝
当0＜x≤32.5时，g(x)单调递减，当32.5＜x<100时，g(x)单调递增，
说明，当S中有少于32.5%的成员自驾时，人均通勤时间递减；自驾32.5%时，人均通勤时间达到最小值；大于32.5%时，人均通勤时间再次逐渐增大．
许多实际应用问题在转化为函数问题去解决时，无法用一个等量关系去表达，需要列出若干个关系式，这些关系式构成了一个整体，即为分段函数，在建构分段函数模型时，要根据实际问题的条件，将自变量的取值范围划分为若干个区间，分别考察在每个区间上的最优解，并加以比较以确定问题的解答，涉及分段变换的数学应用问题，通常的处理方法是仔细审题，明确解题方向，结合条件，分段解决，这类问题常常会转化为二次函数、三次函数、分式函数等函数问题，求最值的方法不限定仅用函数方法，有时也会用到基本不等式等其他求最值的方法．
不等式
例3：（1）近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，一些城市陆续发出“春节期间非必要不返乡，就地过年”的倡议.为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，某地政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在春节期间留住员工在本市过年并加班追产.为此，该地政府决定为当地某企业春节期间加班追产提供（万元）的专项补贴.企业在收到政府（万元）补贴后，产量将增加到