人教专题13解析几何 13.5抛物线 题型归纳讲义-2022届数学一轮复习（解析版）.docx

专题十三 《解析几何》讲义
13.5 抛物线
知识梳理.抛物线
1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(点F不在直线l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.
2．抛物线的标准方程和几何性质
标准
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
方程
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
焦点到顶点以及顶点到准线的距离均为
图形
顶点
O(0,0)
对称轴
x轴
y轴
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦半径(其中P(x0，y0))
|PF|＝x0＋
|PF|＝－x0＋
|PF|＝y0＋
|PF|＝－y0＋
题型一. 抛物线定义及其性质
1．已知抛物线y=12x2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于N点，若|MN|=2|NF|，则|MF|＝　2　．
【解答】解：作N到准线的垂线NH交准线于H点．
根据抛物线的定义可知|NH|＝|NF|，
所以在△NOM中，|NM|=2|NH|，所以∠NMH＝45°．
所以在△MFO（O为准线与y轴交点）中，∠FMO＝45°，
所以|MF|=2|FO|．而|FO|即为准焦距为1．
所以|MF|=2
故答案为：2
2．如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为（　　）
A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2=3x
【解答】解：如图，分别过A，B作准线的垂线，交准线于E，D，
设|BF|＝a，由已知可得|BC|＝2a，
由抛物线的定义可得|BD|＝a，则∠BCD＝30°，
在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝6，|AC|＝6+3a，2|AE|＝|AC|，
所以6+3a＝12，解得a＝2，|FC|＝3a＝6，
所以p=12|FC|＝3，因此抛物线的方程为y2＝6x．
故选：B．
3．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是6的等边三角形，则此抛物线的方程为　y2＝6x　．
【解答】解：根据题意，设抛物线的准线为l，与x轴交点为N，则N（−p2，0），FN＝p，
若△FPM为边长是6的等边三角形，即有PF＝PM，
则PM⊥l，
又由∠PMF＝60°，
则∠PMN＝90°﹣60°＝30°，
△MNF为直角三角形，故PM＝2p，
又由△FPM为边长是6的等边三角形，即PM＝6，
则有2p＝6；
即此抛物线的方程为y2＝6x；
故答案为：y2＝6x．
4．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|=2|AF|，则△AFK的面积为　8　．
【解答】解：F（2，0），K（﹣2，0），过A作AM⊥准线，
则|AM|＝|AF|∴|AK|=2|AM|，∴△AFK的高等于|AM|，
设A（m2，22m）（m＞0），
则△AFK的面积＝4×22m⋅12=42m，
又由|AK|=2|AF|，过A作准线的垂线，垂足为P，
三角形APK为等腰直角三角形，所以m=2，
∴△AFK的面积＝4×22m⋅12=8，
故答案为：8
5．在直角坐标系xoy中，曲线C1上的点均在圆C2：（x﹣5）2+y2＝9外，且对C1上任意一点M，M到直线x＝﹣5的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值，则曲线C1的方程为
　y2＝20x　．
【解答】解：由题设知，曲线C1上任意一点M到圆心C2（5，0）的距离等于它到直线x＝﹣5的距离，
因此，曲线C1是以（5，0）为焦点，直线x＝﹣5为准线的抛物线，
故其方程为y2＝20x．
故答案为y2＝20x．
6．（2015·浙江）如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（　　）
A．|BF|−1|AF|−1 B．|BF|2−1|AF|2−1
C．|BF|+1|AF|+1 D．|BF|2+1|AF|2+1
【解答】解：如图所示，抛物线的准线DE的方程为x＝﹣1，
过A，B分别作AE⊥DE于E，交y轴于N，BD⊥DE于D，交y