2022届高考数学一轮复习（人教版）第4章 §4.3 第2课时　简单的三角恒等变换.docx

第2课时　简单的三角恒等变换
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝2sin αcos α.
(2)公式C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
(3)公式T2α：tan 2α＝.
2．常用的部分三角公式
(1)1－cos α＝2sin2,1＋cos α＝2cos2.(升幂公式)
(2)1±sin α＝2.(升幂公式)
(3)sin2α＝，cos2α＝，tan2α＝.(降幂公式)
(4)asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.(辅助角公式)
微思考
1．思考三角恒等变换的基本技巧．
提示　(1)变换函数名称：使用诱导公式．
(2)升幂、降幂：使用倍角公式．
(3)常数代换：如1＝sin2α＋cos2α＝tan .
(4)变换角：使用角的代数变换、各类三角函数公式．
2．进行化简求值时一般要遵循什么原则？
提示　异名化同名、异次化同次、异角化同角、弦切互化等．
题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)(2020·全国Ⅱ改编)若α为第四象限角，则sin 2α>0.(　×　)
(2)∀α∈R,1＋sin α＝2.(　√　)
(3)∀α∈R,2cos2α＋cos 2α－1＝0.(　×　)
(4)∃α∈R，tan 2α＝2tan α.(　√　)
题组二　教材改编
2．sin 15°cos 15°等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　B
解析　sin 15°cos 15°＝sin 30°＝.
3．已知sin α－cos α＝，0≤α≤π，则cos 2α等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　C
解析　∵sin α－cos α＝，sin2α＋cos2α＝1,0≤α≤π，
∴sin α＝，∴cos 2α＝1－2sin2α＝1－22＝－.
4．已知sin 2α＝，则cos2＝ .
答案　
解析　方法一　cos2＝＝(1－sin 2α)＝.
方法二　cos＝cos α－sin α，
所以cos2＝(cos α－sin α)2
＝(1－2sin αcos α)＝(1－sin 2α)＝.
题组三　易错自纠
5．计算：等于(　　)
A. B．－ C. D．－
答案　D
解析　原式＝－·＝－tan ＝－×＝－.
6．(2020·泸州模拟)若tan α＝，则cos 2α等于(　　)
A．－ B．－ C. D.
答案　D
解析　∵tan α＝，
∴cos 2α＝＝＝＝.
题型一 三角函数式的化简
1．(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α等于(　　)
A.　B. C. D.
答案　A
解析　由3cos 2α－8cos α＝5，
得3(2cos2α－1)－8cos α＝5，
即3cos2α－4cos α－4＝0，
解得cos α＝－或cos α＝2(舍去)．
又因为α∈(0，π)，所以sin α>0，
所以sin α＝＝＝.
2．(2020·江苏改编)已知sin2＝，则sin 2α的值是(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　B
解析　∵sin2＝，
∴＝，
即＝，
∴sin 2α＝.
3．(2019·全国Ⅱ)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α等于(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin2α.因为α∈，所以cos α＝，所以2sin α＝1－sin2α，解得sin α＝，故选B.
4．2＋等于(　　)
A．2cos 2 B．2sin 2
C．4sin 2＋2cos 2 D．2sin 2＋4cos 2
答案　B
解析　2＋
＝2＋
＝2＋
＝2|sin 2＋cos 2|＋2|cos 2|.
∵<2<π，
∴cos 2<0，
∵sin 2＋cos 2＝sin，0<2＋<π，
∴sin 2＋cos 2>0，
∴原式＝2(sin 2＋cos 2)－2cos 2＝2sin 2.
思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
一看角，二看名，三看式子结构与特征．
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点．
题型二 三角函数的求值