人教版高中数学第7讲　解三角形应用举例.doc

第7讲　解三角形应用举例
一、选择题
1.在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为(　　)
A. km B. km
C. km D.2 km
解析　如图，在△ABC中，由已知可得∠ACB＝45°，∴＝，∴AC＝2×＝(km).
答案　A
2.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)
A.10海里 B.10海里
C.20海里 D.20海里
解析　如图所示，易知，
在 △ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，
根据正弦定理得＝，
解得BC＝10(海里).
答案　A
3.(2017·合肥调研)如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为(　　)
A.a km B. a km
C.a km D.2a km
解析　由题图可知，∠ACB＝120°，
由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB
＝a2＋a2－2·a·a·＝3a2，解得AB＝a(km).
答案　B
4.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为(　　)
A.8 km/h B.6 km/h
C.2 km/h D.10 km/h
解析　设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin θ＝＝，从而cos θ＝，所以由余弦定理得＝＋12－2××2×1×，解得v＝6.选B.
答案　B
5.如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于(　　)
A.5 B.15
C.5 D.15
解析　在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.
由正弦定理得＝，所以BC＝15.
在Rt△ABC中，AB＝BCtan ∠ACB＝15×＝15.
答案　D
二、填空题
6.如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分.
解析　由已知得∠ACB＝45°，∠B＝60°，
由正弦定理得＝，所以AC＝＝＝10，
所以海轮航行的速度为＝(海里/分).
答案　
7.江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.
解析　如图，OM＝AOtan 45°＝30(m)，